Le Scienze - Matematica

15 Aprile 1809 – Buon compleanno, Leonhard!

Rudi matematici - Dom, 04/15/2012 - 07:00

“Non lasciate che la persona amata resti troppo lontano da voi. L’amore è strano e spietato, e pur se quando a voi forte la stringete non sembra esservi al mondo forza tanto grande da potervi separare, è anche pur vero che basta vederla a qualche passo di distanza, perché anche la passione più forte cominci subito ad interrogarsi sulla propria natura e sui propri limiti. “È davvero lei, l’anima gemella?” comincia a chiedersi il cuore. Certo, la più sublime delle magie resta nascosta nel fatto che la capacità d’amare si rafforza continuamente sia dall’amare, sia dall’essere amati: come se ogni anima riuscisse a commisurarsi all’altra, e a rendere amore secondo le proprie capacità e misure, in accordo con la passione che sente provenire dall’altro e in perfetta armonia con il respiro della Grande Madre Terra, la perfetta regolamentatrice. Ma i pochi passi di distanza già allentano le dimensioni assolute dell’Infinito, e se la distanza aumenta il legame si affievolisce, e si affievolisce ancora più velocemente di quanto l’aumentare della separazione sembrerebbe poter consentire. E se infine la persona amata scompare dietro l’orizzonte, se il vento ne cancella il profumo e se il tramonto ne oscura l’immagine, di quella passione infinita in pochissimo tempo non resta che il ricordo, e con esso il rimpianto. Per questo, non lasciate che la persona amata resti troppo lontano da voi.”

E se fosse possibile governare con leggi e numeri i moti del cuore, minimizzare il dolore e massimizzare la gioia, solo ponendo a zero la derivata prima della funzione continua delle emozioni? Non ne siamo capaci, non ne saremo capaci probabilmente mai. E non è affatto detto che questa sia una cattiva notizia.

È assai probabile che agli albori della scienza qualcuno ci abbia provato, a farlo. Ci deve pur essere stato un momento nella storia, probabilmente tra il sedicesimo e il diciassettesimo secolo, in cui l’uomo ha giocato a riassumere gli eventi naturali, a riepilogarli in leggi brevi e maneggevoli, senza ancora distinguere troppo sulla natura stessa degli eventi che provava a descrivere. E se avesse avuto i pensieri riportati in corsivo all’inizio di quest’articolo in testa, come avrebbe provato a metterli in formule?

Avrebbe forse definito l’amore come “Folle passione”, e avrebbe cercato delle regole che ne descrivessero il comportamento. Avrebbe forse provato a definire i “moti del cuore”, e avrebbe presto stabilito che ne occorrono due, interagenti. E interagenti in maniera tale che “rendano amore secondo proprie capacità”, e secondo “l’armonia della Grande Madre”. E in qualche maniera, il moto del primo cuore è rafforzato, moltiplicato, dal moto del secondo. Ma il messaggio più forte dello scritto è che i due cuori devono restare vicini, battere all’unisono, sentirsi e ritrovarsi d’appresso, perché la lontananza uccide rapidamente la comunione dei sentimenti. La passione “si affievolisce” e muore assai più rapidamente di quanto cresca la separazione stessa. La distanza è veleno assoluto, per la “Folle passione”.

E cosa ci vuole, allora? Limitiamo i segni alle iniziali, e siano m e m’ i “moti del cuore”; sia G il respiro della “Grande Madre”, sia F la “Folle passione”. E d sia la “diabolica distanza” che nella doppia “d” iniziale porta già con se la sua potenza al quadrato, tanto è crudele il demonio nel combattere l’amore tra gli esseri umani. E, quel che i moti del cuore moltiplicano con l’ausilio della Grande Madre che pure moltiplica, il diavolo tenti di distruggere, rendere piccolo, con il crudele artificio della divisione. Sarà allora:

[1]

Non fate quella faccia, adesso.

Non temete, il vecchio Isaac non sarebbe scandalizzato nel vedere la sua formula della gravitazione universale massacrata in questi giochi dal basso effetto narrativo: e neanche i milioni di romantici dovrebbero arrabbiarsi poi troppo. L’amore sfugge ancora al determinismo, soprattutto perché sfugge alle definizioni. E la legge che abbiamo appena scritto non è affatto una legge, e per molte ragioni.

Ad esempio, esiste una teoria che addirittura sostiene il contrario di quanto afferma la nostra [1]: laddove noi sosteniamo che la forza dell’amore decresce in ragione inversa del quadrato della distanza, due esimi studiosi affermano una regola più complessa. Sostengono, infatti, che la grandezza d della nostra formula non ha una collocazione univoca, visto che addirittura dovrebbe essere posizionata al numeratore, almeno per m e m’ sufficientemente grandi; resterebbe invece al denominatore (e presumibilmente con un esponente elevato) per m e m’ piccoli [Modugno-Cinquetti, "La lontananza sai è come il vento, spegne i fuochi piccoli, accende quelli grandi" – Festival di Sanremo 1970].

Ma, soprattutto, quello che è assolutamente inimmaginabile è la rigorosa applicazione quantitativa della legge. Supponendo la piena validità della [1], infatti, dovremmo aspettarci che due innamorati alla distanza di due metri si amino esattamente un quarto di quanto si adorino ad un solo metro di distanza. E questo, signori, è pura follia sperarlo, come sa chiunque sia passato sotto le forche caudine della passione amorosa. E in fondo, che la [1] non funzioni in realtà ci rassicura, e soprattutto non ci stupisce.

Ed è proprio perché non ci stupisce il suo non-funzionamento sugli affari di cuore, che dovrebbe invece lasciarci di stucco il fatto che funzioni così bene per gli affari gravitazionali. Perché per descrivere quelli va benissimo: è perfetta fino ad un bel numero di decimali. Oltre un certo numero di decimali arriva un tizio di Ulm a dire che la [1] non va più bene… però nel farlo ci regala un’altra formula più accurata, quindi per i nostri scopi la cosa non cambia. E se adesso riuscite davvero a mettervi nei panni di un fisico di quei tempi, la sensazione di stupore che vi assale dovrebbe davvero essere grandissima: più o meno la stessa che proveremmo noi adesso, se venissimo a scoprire che la [1] funziona bene anche per gli innamoramenti. Le pagine più belle di Galileo sono dettate da questo preciso ed esattissimo stupore, ed è uno stupore che perdura: in pieno ventesimo secolo Eugene Wigner dichiara “L’enorme utilità della matematica nelle scienze della natura è qualcosa che confina con il mistero e che non ha alcuna spiegazione razionale” ["L'irragionevole efficacia della matematica nelle scienze della natura" – Eugene P. Wigner, 1959].

“Formula” è già un diminutivo. Significa “piccola forma”, e per le formule della fisica il significato è proprio questo. Le formule racchiudono e riassumono il comportamento, la “forma” estesa e complessa del fenomeno che tentano di descrivere. Tutto il moto dei pianeti e delle stelle, della forchetta che cade dal tavolo e delle traiettorie dei razzi, riassunti in pochi segni su carta. Una sintesi esattissima e micidiale.

In fondo, quel che fanno le formule dei fisici è stabilire un’analogia. Come potremmo ricordare in qual misura decresce la gravità del Sole? Basta ricordarsi come si comportano i numeri quando li eleviamo al quadrato e ne facciamo l’inverso. Analogia tra un fenomeno naturale e la nostra maniera di conoscere il comportamento numerico. Il fatto che questa analogia si sia finora sempre mostrata attuabile resta senza spiegazione, misteriosissima, ma almeno ci spiega perché i fisici amano le formule: per loro hanno una capacità di sintesi totale, nel conoscimento della natura, minuscole forme maneggevoli, trasportabili e trasformabili. Non ci fossero loro, non resterebbe che la descrizione puntuale e verbosa di ogni evento; per descrivere il più piccolo fenomeno occorrerebbe sempre qualcosa delle dimensioni di un’enciclopedia, e la certezza assoluta e perenne della sua incompletezza. Senza poi contare che l’analogia produce, di fatto, nuova conoscenza: fidandosi di essa, i fisici che trovano una formula “sintetica”, una cioè che sintetizza efficacemente un evento del mondo fisico, non esitano a sottoporla a tutte le torture matematiche che a quella “forma di formula” sono applicabili, nella speranza che l’analogia perduri. Perché se perdura si otterranno a basso costo altre conoscenze, o, quantomeno, previsioni di altre conoscenze. È per questo che la fisica teorica assomiglia tanto alla matematica.

Nel secolo dell’informatica, altre formule si incontrano nascoste nei linguaggi di programmazione. Assimilate genericamente a formule matematiche o fisiche, sono spesso in realtà delle cose assai diverse. La banalissima formula

A = B + C [2]

Viene di solito letta da un fisico come “La cosa (generalmente reale e tangibile, anche se non sempre) simboleggiata da A è uguale alla somma delle cose (anche queste in genere reali a tangibili, anche se non sempre) B e C! Chi lo avrebbe mai detto?” Laddove il “chi lo avrebbe mai detto?” è tanto più entusiasta e allegro quanto più B e C rappresentano “cose” che non sembravano inizialmente aver nulla a che vedere con A.

La stessa formula [2], in un programma (sintassi di linguaggio a parte), significa semplicemente “Da adesso in poi ricordati che abbiamo questa roba che abbiamo deciso di chiamare A, e che fino a nuovo ordine vale quanto la somma di B e C. Te li ricordi, B e C? Ne avevamo parlato un attimo fa… Sette istruzioni fa avevamo deciso che A aveva un altro valore? Fa niente, da adesso in poi vale B + C”.

C’è insomma una bella differenza tra la scoperta di una uguaglianza imprevista e una assegnazione, eppure si usa lo stesso simbolo “=” con una certa nonchalance. Simbolo che qualche antico genio ha proposto a guisa di ideogramma: il disegno due bastoncini uguali fra loro, per rappresentare il concetto di “uguale”.

Sia i fisici che gli informatici hanno rubato ai matematici l’idea di mettere in formule i punti consolidati del sapere anche se, a ben vedere, le formule matematiche sono diverse sia da quelle fisiche sia da quelle informatiche. Al principio di ogni trattazione matematica, le formule sono di solito delle “definizioni”. Una definizione è un battesimo, la decisione di un nome per un concetto o un insieme di concetti: non è una cosa banale quanto può sembrare a prima vista, ma è in genere assorbita dal discente senza troppi patemi. La [2], per un matematico, va pertanto letta in maniera diversa a seconda che si tratti di una definizione o di un teorema. Se è una definizione, significa più o meno: “adesso che abbiamo ben compreso cosa siano B e C, iniziamo a risparmiare inchiostro e parole, e invece di riscrivere molte volte l’espressione B + C, vi avverto che al suo posto mi limiterò a scrivere A”. Se invece è un teorema, vuol dire tutta un’altra cosa: “Vi ricordate quando all’inizio vi ho detto che cosa erano A, B e C? Beh, da quelle definizioni e dal resto della trattazione che avete appena letto, discende che A è esattamente la stessa cosa che B + C”.

E, anche qui, trattiamo di cose maledettamente diverse. La prima è quasi solo lo stabilirsi di una convenzione, la seconda è la notizia (che magari non sospettavamo neppure) che due cose sono in realtà la stessa cosa. Qui stiamo avventurandoci in terreni assai rischiosi, pascolo abituale e luogo di risse per epistemologi e filosofi della scienza. Non abbiamo intenzione di percorrere strade inadatte all’innata modestia di chi redige queste note, ma non vorremmo neppure lasciar intendere che interpretiamo le definizioni come mere convenzioni, perché presupponiamo che già a questo livello le definizioni (e anche gli assiomi) devono avere una consistenza interna ben marcata e anche una coerenza (o quantomeno, assenza di incoerenza) verso le altre sezioni della matematica. Come disse il buon Frege: “Le proprietà degli enti matematici sono contenute nella loro definizione, ma come la pianta è contenuta nel seme, non come le travi sono contenute nella casa”. Il simbolo resta lo stesso; nonostante il proverbiale rigore dei matematici, l’ “uguale per definizione” non è diverso dall’ “uguale per conclusione”. Cosa che non cessa di stupire alcuni acuti critici delle notazioni.

Non sempre la cosa è evidente, del resto. E non lo è quasi mai agli studenti. Prendiamo ad esempio quella perversa branca della matematica zeppa di seni e tangenti. La definizione di sen(x) è tranquillamente assorbita da tutti come rapporto di due segmenti ben definiti e sposati da un angolo, ma dopo un po’ che la si usa, ci si dimentica quasi che sia una definizione:

[3]

e che come tale ce la si porta appresso per tutta la trigonometria: ci si arrabatta con bisezioni e prostaferesi, si tirano in ballo un sacco di altri concetti, ma di fatto resta una definizione, e per passare “dal concetto al numero” si fa un grande uso di tavole (quando eravamo giovani noi vecchi), di regoli calcolatori, di calcolatrici o di fogli elettronici. Nulla di male, certo: e, in fondo a tutto, c’erano sempre i teoremi di Pitagora e le formule di Erone che giustificavano le tavole piene di mantisse. Insomma, anche il segno di “uguale per definizione” ha una gran bella importanza.

Poi, qual fulmine a ciel sereno, arriva improvvisamente una formula di questo tipo:

[4]

che dovrebbe lasciare gli astanti a bocca aperta per lo stupore.

Una formula come la [4] stravolge quasi il concetto stesso di “formula”. Certo, come spesso accade durante le “rifondazioni” della matematica, una volta appurata la sua esattezza la si può addirittura assumere come “definizione della funzione seno”, ma il suo ingresso nella storia è assolutamente più forte e devastante di quello di una definizione.

A dirla tutta, ha forma e contenuto talmente insoliti che anche l’inserimento nelle formule di tipo “teorema” sembra andargli stretto.

Chi non frequenta la matematica tende spesso a considerarla fredda, asettica, troppo precisa, perfino. Sono persone che spesso sentono il “rigore” come una catena, come una limitazione alla libertà. Pur senza entrare in una diatriba sciocca e senza fine, viene da chiedere a quelle persone se conoscono altre attività mentali, al di fuori della matematica, in cui esista una teoria rigorosa dell’approssimazione: quasi un ossimoro, con tutto il fascino che ne consegue. La [4] uguaglia una grandezza finita ad una somma infinita, e già questa piccola sciocchezza si porta dentro qualche secolo di filosofia greca e di paradossi eleatici. Ha la precisione di tutte le formule matematiche, se si decide di estendere la somma dei termini all’infinito, ma consente anche di fermarsi, di guardare come e quanto la somma sia “approssimabile” alla funzione cercata, e valutare di quanto si sbaglia nell’interrompersi all’ennesimo termine. Una misura precisa dell’imprecisione.

Provate a riportare sullo stesso grafico i valori della [4], magari animandoli, in ordine successivo: prima la retta data dal solo primo termine, poi la parabola data dalla somma dei primi due, poi la cubica dei primi tre, e così via. Ne risulta questo “avvicinarsi oscillante” alla funzione sen(x) che ha una sua innata eleganza. Curve imprecise nell’avvicinarsi, che migliorano sempre, e si avvicinano all’obiettivo in una danza armonica: troppo alto, troppo basso, ancora un po’ troppo alto, ancora un po’ troppo basso… e la certezza di sovrapporsi, alla fine. All’infinito. Se c’è una cosa che ci consola (e non è la prima volta che lo diciamo) dell’esistenza di RM, è che frasi come queste sono quasi “indicibili” in qualsiasi altro posto: scrivere di matematica usualmente richiede un rigore particolare, che noi bellamente ignoriamo. Sia come sia, almeno in nota, ci premuniamo di avvertire che quello che è certo, all’infinito, è il coincidere della funzione sen(α) con lo sviluppo in serie sempre in α. Stiamo pertanto parlando “localmente”, di quel che succede al punto α, non necessariamente in tutto l’asse delle x. Ovviamente, succede per qualsiasi α (almeno nel caso citato dello sviluppo del seno) arbitrariamente fissato, ma non ci stiamo sbilanciando a dire che succede “contemporaneamente” per tutti gli α.

Per quanto rigorosa possa essere, la [4] sorprende; e il fatto che sorprenda già è insolito, se la matematica, per propria natura, deve davvero limitarsi a “constatare evidenze di uguaglianza”. E sorprende la semplicità di quelle potenze e fattoriali dispari, e l’alternanza ripetuta dei segni: è praticamente impossibile non chiedersi cosa generano allora le potenze e i fattoriali pari, e la risposta non sorprende:

[5]

Ma non sorprende solo per “analogia”. Certo, in questo caso l’analogia è una sorta di analogia “interna”, diversa da quella cara ai fisici. Ma in qualche maniera saremmo rimasti stupiti se la [5] non avesse avuto un significato “analogo ” alla [4]; e questo anche se, dal solo esame visivo della sua “forma”, niente ci autorizzava a concluderne la [5].

Le formule prolificano, in questa maniera: ma, per quanto ci si possa attendere ancora altri frutti dall’analogia, il passo successivo è ancora un passo stupefacente:

[6]

Non discende direttamente dalle precedenti: quelle hanno quell’alternanza di segni che la [6] non ha, ma la sequenza dei termini è già lì pronta, a dirci che certo ci sarà qualche parentela tra seno, coseno, e il magico “e“.

Guardate che quelle formule funzionano: sono formule da provare, da verificare, perché non sono immediatamente evidenti. Fatelo: usate il vituperatissimo Excel, calcolate, stupitevi, sorprendetevi. Avevamo detto all’inizio che non dovrebbero esserci sorprese, nelle formule di matematica. Le regole dovrebbero alla fin fine ripercorrere la logica, il logos, il percorso dei nostri cervelli: una dimostrazione matematica dovrebbe essere una scoperta, non una creazione. E dovrebbe essere una scoperta già segnata, solo da “riconoscere” grazie alla dimostrazione. Le definizioni sono davvero solo una maniera comoda di impacchettare le cose? I teoremi matematici davvero solo delle “conseguenze inevitabili”? Allora, come fa ad esserci stupore?

A voler approfondire la cosa, pur continuando a restare miglia e miglia lontani dal rigore matematico, potremmo notare un aspetto per così dire “psicologico” delle tre funzioni in esame. Guardate le facce degli studenti che si cimentano per le prime volte con le derivate: seno e coseno sono legate strette fra loro essendo una la derivata dell’altra (più o meno… si, è un gioco di parole terribile); questo le rende “facili” dal punto di vista della derivabilità. La funzione esponenziale è comunque imbattibile, da questo punto di vista, essendo sempre pari alla sua funzione derivata; e questo la rende deliziosa agli occhi di chi deve farci esercizi di calcolo. Basta questa “facilità di derivazione” a deporre in favore della “parentela” sopra accennata? Probabilmente no. Però approfondiamo appena un poco: seno e coseno non sono solo una la derivata dell’altra, sono anche “una la traslazione dell’altra”. Date un colpetto alla funzione seno per farla scivolare di π/2 lungo l’asse delle x, e otterrete la funzione sorella. Ovvio e banale? Certo. Solo che, ad esempio per le rette e le parabole, una traslazione lungo gli assi si perde del tutto, durante la derivazione, così come si perde, almeno nell’aspetto finale, il disegno della primitiva nella derivata. Seno e coseno, invece, “traslano” l’una nell’altra, e mantengono intatta la loro forma anche dopo ripetute derivazioni. Sappiamo che è solo un’immagine romantica, ma in questo senso si “sente” che le due funzioni trigonometriche sono le due anime dell’immutabile (derivabilmente parlando) ex.

Riprendiamo la figura di prima: se, come si fa di solito, prendiamo OA come pari ad 1 (definizione!), allora AB è il coseno e OB è il seno di x. Applichiamo Pitagora, ma con uno scopo diverso dal solito: non per trovare la lunghezza dell’ipotenusa, che sappiamo già essere lunga 1, ma per vedere che AB e OB ci possono servire per definire proprio dove va a finire OA: insomma, per definire l’angolo che OB fa con l’asse delle x. Solo una definizione: si trascina dietro il concetto di “coordinate polari” per i matematici e quello di “fase” per i fisici, ma è pur sempre una definizione, niente più.

L’altra definizione che ci serve è l’invenzione del piano complesso: buttiamo a mare la y, nelle ordinate, e decidiamo che quell’asse serve a marcare la parte immaginaria di x, la “ix“.

Solo un’altra definizione, niente di più.

Ma sono definizioni devastanti. Viene da chiedersi se, come sembra leggendo i libri di testo, il piano complesso sia stato introdotto davvero solo per “collocare” i numeri complessi e tutte le estensioni che riescono a generare, o se invece sia stato fatto apposta per sistemare la [4] e [5] nella [6]. Perché è stupefacente che i nasca “solo” come i= √-1, se poi riesce a fare quel che riesce a fare. Se poi, per buon peso, aggiungiamo che storicamente i nasce come mero artificio algebrico per risolvere le equazioni cubiche, la cosa fa ancora più ridere. Guardate: sommando la [4] e la [5], tenendo però conto che “sen(x)” deve essere moltiplicato per “i“, come da definizione di piano complesso, otteniamo:

[7]

ma, visto che (per definizione!)

[8]

la magia può liberamente operare:

[9]

Ci deve essere qualcosa di naturalmente stupefacente, anche nella matematica, che per propria natura non dovrebbe stupire. L’invenzione del piano complesso sembra del tutto disgiunta dagli sviluppi in serie, eppure grazie alle “ovvietà” contenute nella [8] si riescono a saldare le serie trigonometriche e la esponenziale. Com’è possibile? Era tutto già in qualche modo implicito nella definizione di “i“? Era inevitabile a causa della “forma” delle [4], [5] e [6]? Il processo deriva solo da definizioni e operazioni elementari come l’addizione e la fattorizzazione di (ix); e allora, se la matematica è davvero solo una imago dei nostri processi mentali, come possono processi noti generare concetti così sorprendenti?

Perché poi, già lo sapete, basta prendere la [9], e porre x=π, per avere il fuoco artificiale finale:

[10]

della quale già parlammo a suo tempo.

Le formule della matematica, dicevamo, quelle che non dovrebbero sorprendere…

A dire il vero, esistono anche formule più semplici e lineari, che però hanno quasi la natura delle leggi fisiche, come questo gioiellino:

V – S + F = 2 [11]

che ricorda come sono messi in relazione, su un qualsiasi poliedro, i vertici (V), gli spigoli (S) e le facce (F). A differenza della [10], che sembra forzarci a considerare le conseguenze delle nostre stesse definizioni e della nostra maniera di pensare, la [11] ci da informazioni sullo spazio tridimensionale: lo spazio fisico che frequentiamo ogni giorno potrebbe essere diverso da quello euclideo tridimensionale, e i nostri poliedri fisici sono solo grezze approssimazioni dei poliedri matematici che considera la [11]: per questo è matematica, e non fisica. Ma è diversa dalla [10], no? Non solo per l’ovvia diversità di contenuto, ma per propria natura, in un certo modo.

Di solito, su questo blog, celebriamo il compleanno di qualche famoso matematico nato nel mese. Perché, allora, in questo mese d’Aprile non abbiamo fatto altro che parlare di formule?

Per troppa grazia.

Gauss, Shannon, Poincarè, Godel, Wittengstein, Kolmogorov, Pauli, Klein, Planck, Rolle, Wiles, Leonardo da Vinci, Huygens, Lindemann, Sophie Germain; sono solo alcuni dei nomi più celebri nati in Aprile. Quello che T.S. Eliot chiamava “il mese più crudele” sembra essere il più fecondo, per le menti matematiche. E anche noi, nella nostra piccola Redazione e con tutta la modestia possibile, celebriamo stupiti in questo mese il genetliaco di colei ce tra noi è certo la migliore macinatrice di numeri. E allora le troppe ramificazioni delle scelte ci hanno lasciato, come l’asino di Buridano, indecisi fino all’ultimo su quale nome far cadere la scelta. Perché, come al solito, da una parte volevamo evitare di celebrare i nomi già troppo celebrati, dall’altra ci rendevamo conto di dover scommettere sul giubileo dei venticinque anni di Rudi Matematici, per avere la speranza di completare i nomi d’Aprile.

E allora volevamo quasi saltare il mese, fare di Aprile il mese universale, per non far torto a nessuno… parlare più di matematica che di matematici. Non saremmo neanche stati troppo originali, in questo: la comunità matematica già da tredici anni ha decretato che Aprile è il “Month of Mathematical Awareness“; non sappiamo se per colpa di Eliot, del punto di accumulazione dei compleanni matematici sul calendario, o per altre ragioni.

Solo che è molto più facile dire che fare una cosa del genere: e questo non soltanto perché nell’elenco di nomi notevoli che abbiamo accennato non abbiamo riportato il più altisonante. Non soltanto perché ad Aprile è nato quello che potremmo chiamare “il vecchio Bach della matematica”. Quello che, come Bach, non produceva cose geniali sull’onda dei colpi di genio, ma con un continuo, perenne e ininterrotto esercizio del genio. Quell’artigiano dei numeri, impiegato delle equazioni, che dava e dà ancora l’idea di poter generare senza sforzo alcuno teoremi su teoremi, con la stessa metodicità di un impiegato che evade le pratiche.

Ci sembrava davvero impossibile non parlare di lui: a voler romanzare la sua vita, basterebbe ricordare che è stato cieco da un occhio per gran parte della sua vita, e cieco del tutto per i suoi ultimi, lunghi e ancora produttivi anni. “Adesso avrò meno distrazioni“, disse, quando anche l’occhio migliore smise di raccogliere luce.

Un genio che scrisse settanta libri. Non dieci, settanta: la prima edizione delle sue opere, con i tempi di allora (nacque a Basilea il 15 Aprile 1707) terminò quaranta anni dopo la sua morte. “È un bene che talvolta il principio di priorità non sia rispettato, perché altrimenti tutti i teoremi dell’analisi e gran parte degli altri sarebbero noti solo con il suo nome“, dissero di lui.

Lo si ritrova ovunque. Il bel libro di Odifreddi sulla Matematica del secolo scorso [P. Odifreddi – La matematica del 900 – (2000) PBE Einaudi; 193 pagine] termina con l’elenco di quattro tra le questioni matematiche più importanti ancora insolute: il problema dei numeri perfetti, l’ipotesi di Riemann, la congettura di Poincarè, il problema P=NP. Tutti e quattro i paragrafi contengono il suo nome; i primi tre perché i più grandi progressi in quei fronti sono stati fatti da lui, il quarto, problema recente e contemporaneo, perché per risolverlo “…ci vorrebbe il suo ingegno”.

Noi, per non far torto a nessuno dei matematici d’Aprile, avevamo deciso di parlare di formule: le formule onnipresenti nel linguaggio dei matematici, e quasi del tutto assenti nelle nostre piccole celebrazioni mensili. Ma anche così, non saremmo riusciti ad essere equi. Anzi, forse proprio dedicare alle “formule” questa celebrazione è la maniera più diretta per celebrare lui: la prima formula che compare in quest’articolo è quella della Gravitazione Universale: proprietà assoluta di Isaac Newton, sicuramente, ma Newton probabilmente non saprebbe riconoscerla. Non riconoscerebbe neanche la altrettanto sua F=ma. I concetti espressi sono tutti autenticamente newtoniani, ma lui e i suoi contemporanei scrivevano la matematica in maniera diversa e, diciamolo pure, meno bella. La “forma delle formule”, la maniera di scrivere matematica, è un’altra, forse la più grande, eredità lasciataci dal nostro genio d’Aprile.

I matematici sono sensibili al bello, anche se non piace loro parlarne troppo, visto che è di così difficile definizione. Ma alcuni di loro si sono perfino lasciati sottoporre a indagine referendaria, qualche tempo fa. Dovevano indicare, senza altra ragione che il proprio personale gusto estetico, quale formula matematica ritenessero “più bella”.

Vinse quella che in questo articolo ha il numero [10].

Arrivò seconda quella che noi abbiamo chiamato [11].

Al terzo posto si classificò la dimostrazione di Euclide dell’infinità dei numeri primi.

Quarta, la prova che i poliedri regolari sono solo cinque.

Seguita dalla prova di convergenza della serie dei reciproci dei quadrati.

Le prime due, la quinta, tutto il modo contemporaneo di scrivere la matematica e quasi tutte le cose serie che sostengono le ciarle di quest’articolo sono opera di Leonhard Euler.

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La serie armonica

Rudi matematici - Ven, 04/06/2012 - 07:00

Anche se piuttosto semplice, la serie armonica contiene alcune caratteristiche piuttosto strane: ad esempio, arduo è stato convincermi che non converge. La miglior dimostrazione in merito (cioè talmente facile che ci arriva anche il sottoscritto) prevedeva di prendere dei blocchi di termini, ciascuno delle dimensioni della rispettiva potenza di due (ovvero il primo blocco di 1 elemento, il secondo di 2 elementi, il terzo di 4 elementi, il quarto di 8 elementi, e così via…); è semplice veder che ognuno di questi termini è maggiore di ½, e quindi la serie è minorata da una serie infinita di termini ciascuno uguale a ½, quindi diverge. In pratica:

Abbastanza chiaro, no?

Va bene, ma perché l’hanno chiamata armonica? Beh, la cosa risale a Pitagora, all’epoca in cui studiava i rapporti armonici delle corde pizzicate: se dimezziamo la lunghezza di una corda, la nota emessa sarà di frequenza doppia, ma se riduciamo la sua lunghezza ad un rapporto sesquipedale (va meglio, se scrivo 2/3?) otteniamo una quinta, che è comunque considerato un rapporto armonico intermedio. Quindi si dice che 1, 2/3, 1/2 formano una progressione armonica (musicale), e che 2/3 è la media armonica tra 1 e 2.

Molte sono le relazioni tra la media armonica e le altre medie; ad esempio, se prendete gli inversi dei due numeri e della loro media armonica ottenete una serie aritmetica (il cui termine intermedio è media aritmetica tra i due estremi); da cui, l’inverso della media armonica è uguale alla media aritmetica degli inversi, ossia . Da qui discende il nome (tutt’altro che armonioso) di media subcontraria.

La media armonica piaceva molto ai Greci, che riuscivano a farla saltar fuori dai posti più disparati: ad esempio, dati due numeri a caso, il primo sta alla media aritmetica dei due come la media armonica sta al secondo (non è difficile dimostrarla, datevi da fare). Inoltre Pappo è riuscito a dimostrare (anche questa è piuttosto semplice, se vi ricordate Euclide) che nella figura qui a lato, se AB=a e BC=b, allora OD è la media aritmetica, DB è la media geometrica e BF è la media armonica.

Se vi piacciono le espressioni complicate e i calcoli, allora potreste provare a dimostrare che la media geometrica di due numeri positivi è uguale alla media geometrica della media armonica e della media aritmetica.

Tutte quante espressioni piuttosto esoteriche, che divertivano molto i Pitagorici.

Quello però che li mandava in un brodo di giuggiole era una cosina basata sulla Formula di Eulero che, nella formulazione classica per i solidi convessi e non forati, risulta V – E + F = 2, dove V è il numero dei vertici, E è il numero degli spigoli e F è il numero delle facce. (C’è chi preferisce la forma F+V=S+2, usando l’italica S per gli Spigoli, e usando la nota frasetta mnemonica da inizio week-end: “Fatti Vedere Sabato alle Due!“[N.d.PRS]). State a vedere cosa succede.

Supponiamo un poliedro regolare abbia F facce, ciascuna delle quali sia un poligono regolare di n lati e che in ciascun vertice si incontrino r spigoli. Contando gli spigoli rispetto alle facce e ai vertici, si ha che è nF = 2E perché ogni spigolo appartiene a due facce e quindi nel prodotto dobbiamo contare nF due volte. Inoltre rV = 2E in quanto ogni spigolo contiene due vertici. Dalla formula allora si ricava che deve essere 2E/n + 2E/r – E = 2, ossia

1/n + 1/r = ½ + 1/E [001]

Se poi consideriamo il fatto che un poligono deve avere almeno tre lati, deve essere n ≥ 3;  e dal fatto che almeno tre lati devono incontrarsi per formare un angoloide deve essere r ≥ 3.

Ma n e r non possono essere contemporaneamente maggiori di 3, in quanto dalla [001] si avrebbe che il primo termine non supera 1/2 e quindi E dovrebbe essere negativo. Si tratta quindi di vedere quali valori può assumere r quando n=3 e quali valori può assumere n quando r=3.

Ossia, otteniamo due espressioni (che una volta tanto non devono essere soddisfatte contemporaneamente):

[002]

Ossia, gli unici solidi regolari che possiamo avere sono quelli in tabella.

n r E F V Nome 3 3 6 4 4 Tetraedro 4 12 8 6 Ottaedro 5 30 20 12 Icosaedro 4 3 12 6 8 Cubo 5 30 12 20 Dodecaedro

E questi sono gli unici valori possibili, quindi i solidi regolari sono cinque.

E questo cosa c’entra con la serie armonica? Beh, nelle [002], se n o r è pari, potete trasformare la formula in un rapporto armonico (raccogliendo 1/2 a fattor comune). Quindi n=4 (r=3) e r=4 (n=3) sono gli unici solidi “armonici”. Anche questo divertiva da matti i Greci.

Quanto spesso viene battuto un record?

Supponiamo di avere una lista dei livelli di precipitazione raccolti nell’arco di un secolo (se vi piacciono i numeri “grossi”, chiedete a Alice: dalle sue parti piove sempre, peggio che a Cerrapungi); quante violazioni del record precedente vi aspettate, esaminando la serie storica? Escludiamo buchi dell’ozono e organizzazioni di picnic, ossia consideriamo le piogge completamente indipendenti tra di loro.

Il primo anno (è abbastanza evidente) è un anno record, non avendo dati precedenti.

Il secondo anno, a stima, pioverà come il primo, quindi la probabilità di avere un record sarà 1/2. Da cui, il numero atteso di record nei primi due anni sarà 1+1/2. Al terzo anno, sempre secondo le ipotesi precedenti, ci aspettiamo un record con probabilità 1/3, da cui… Credo che a questo punto siate in grado di andare avanti da soli. Ora, se sommate i primi cento termini della serie armonica ottenete il numero di volte che, nel secolo, i giornali titoleranno “Record di pioggia dalle vostre parti!”, e viene fuori un qualcosa come cinque volte (5.187, per la precisione). Facendo un po’ di calcoli potete scoprire dopo quanto tempo potete dire che “sui giornali ci sono sempre le stesse notizie”: dovrete aspettare lo scrivano dieci volte, scoprire cioè quanti termini vi servono per superare il valore dieci. Prendetevela pure calma: dovrete aspettare dodicimilatrecentosessantasette anni (meno i primi cento, logicamente…).

Questa invece l’ho verificata tornando a casa.

Supponiamo una strada a una corsia per senso di marcia; prima o poi, l’imbranato che forma la coda lo trovate di sicuro. Di solito, lungo la strada si formano dei “grappoli”, ciascuno guidato da un valido rallentatore. Se abbiamo n auto, quanti gruppi si formeranno? Già, sempre lei. È equivalente a chiedersi quanti record di lentezza si formeranno, e già sappiamo che la risposta è la serie armonica; i gruppi saranno in ordine di velocità (lentezza), quindi saranno sempre più spaziati tra di loro.

Giusto per vedere ancora un paio di posti dove può saltar fuori la serie armonica, supponiamo di essere responsabili per il crash test di una fabbrica di stuzzicadenti; nostro scopo è, usufruendo delle più moderne apparecchiature, stabilire che forza è necessaria per rompere uno stuzzicadenti.

Spero ammetterete che provarli tutti sino alla rottura è piuttosto stupido. Un buon metodo potrebbe essere il seguente:

1. Provo il primo sino alla rottura: supponiamo richieda uno sforzo F1.
2. Sul secondo, aumento lo sforzo da zero sino a F1. Se si rompe prima, registro lo sforzo necessario (F2) e uso questo valore in luogo di F1.
3. Ricomincio da (2).

In questo modo, mi aspetto di rompere un numero di stuzzicadenti pari alla somma della serie armonica: se fate i conti (ricicliamo i valori di cui sopra, va bene?) scoprite che ne fate fuori circa 5 su una popolazione di cento stuzzicadenti, ma se avete mille stuzzicadenti vi fermate dalle parti del 7.

C’è un vecchio problema che, si racconta, è diventato praticamente una barzelletta per chi si occupa di logistica.

Dovete attraversare un deserto senza distributori. Non avete il tempo di mettervi lì a organizzare dei punti di rifornimento, ma avete a disposizione un numero infinito di jeep (che però dovete restituire) e molti amici. Quante jeep vi servono per traversare il deserto?

Supponiamo di avere due jeep, e di applicare la seguente procedura:

1. Vanno assieme per 1/3 del percorso.
2. La jeep 1 trasferisce 1/3 del carburante nella jeep 2
3. La jeep 1 torna indietro, e la jeep 2 può andare avanti per un totale di 1+1/3 di serbatoio.

Con tre jeep, la situazione diventa un po’ più complessa ma ci si riesce:

1. Vanno assieme per 1/5 del percorso
2. La jeep 3 trasferisce 1/5 alla jeep 1 e 1/5 alla jeep 2.
3. Le jeep 1 e 2 si comportano come nel caso precedente, ma la 2 quando torna indietro arriva senza carburante dalla 3
4. La jeep 3 fornisce metà del carburante rimasto (ossia fornisce 1/5 del serbatoio) alla jeep 2, così riescono a tornare alla base

…e avanti così. La distanza massima percorribile risulta quindi (posto che ad un primo sguardo non vi tornino i conti, prego notare che la prima sommatoria comincia da zero, mentre la seconda comincia da uno: ogni termine della prima serie maggiora il corrispondente termine della seconda serie). Ma quest’ultima è divergente, quindi posso traversare qualsiasi deserto. L’unico problema può essere il fatto che ad un certo punto il deserto è pieno di jeep.

Cercate comunque di fare attenzione quando la maneggiate: provate ad esempio a prendere la serie armonica (con tutti i numeri dentro) e cancellate tutti i termini che contengono uno zero. “A occhio”, sparisce un termine ogni dieci, e quindi dovrebbe tendere a un decimo di infinito…

No.

Consideriamo i termini in cui il denominatore è formato da una cifra: di questi ne abbiamo 9, ciascuno di loro è minore o uguale a 1 e la loro somma è sicuramente minore di 9.

Consideriamo tutti i termini in cui il denominatore è formato da due cifre: di questi ne abbiamo 81, ciascuno di loro è minore o uguale a 1/10 e la loro somma è sicuramente minore di 92/10.

E avanti così.

In pratica, se S è la somma della nostra serie, .

Se ci giocherellate un po’  scoprite che è (suppergiù) S=23.10345….

Se tornate un attimo alla dimostrazione di divergenza (tra l’altro, è di Oresme), e indicate con H(n) la somma della ridotta n-esima, quello che dimostrate (effettuando la sostituzione) è che

Ammetterete con me che una cosa del genere puzza scandalosamente di logaritmo. In effetti, si può vedere che H(n) aumenta suppergiù come il logaritmo naturale di n. Con metodi brutalmente numerici si può verificare che è , che vale circa 0.577 ed è nota come la costante di Eulero. Potreste provare a vedere se è razionale o irrazionale: se ci riuscite invitateci alla cerimonia quando ricevete la Fields.

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Metodi mnemonici contro la snumeratezza

Rudi matematici - Mer, 04/04/2012 - 13:26

D’accordo, gli inglesi la chiamano “innumeracy”, e fa più fine. Ma il saggio Zar l’ha recentemente chiamata snumeratezza in un suo bello (e tragico, per certi versi) post, quindi seguiamo volentieri il neologismo. Che esista una diffusissima scarsa familiarità coi numeri è cosa che abbiamo già lamentato, e non abbiamo certo intenzione di proporci di risolvere il problema alla radice: del resto, se non si riesce a convincere della potenza esplosiva delle progressioni geometriche un ragazzo che pure certamente avrà sentito almeno dieci volte nella sua vita l’aneddoto dei chicchi di riso raddoppiati sulle caselle d’una scacchiera, non saranno altri esempi artificiosi a ravvederlo.

Però è indubbio che con alcune grandezze si faccia fatica a ragionare. Chi scrive (il meno abile coi numeri del trio), per provare a maneggiare alcune ostiche misure, si è inventato delle scorciatoie mnemoniche. Egli dubita fortissimamente che siano originali, ma non è questo il punto: il punto è se qualcun altro se ne è inventate di altre, potrebbe raccontarcele nei commenti, così, anche se la snumeratezza continuerà ad imperare, magari qualche piccolo fronte di consapevolezza numerica riusciamo a costruircelo, nel nostro piccolo.

Artificio uno: Distanze astronomiche di base.

Si prenda (mentalmente o meno) una palla. Si decida che cotanta palla è il nostro amato pianeta Terra. Con un nastro (anche in questo caso, un nastro mentale va benissimo) gli si faccia una bella cinturina, a mo’ di meridiano o d’equatore. Si prenda quindi la cinturina così fatta, e ci si allontani dalla palla per dieci “cinturine”. Qui metteremo la Luna. Per decidere quanto farla grande, si prenda la cinturina e la si divida in tre parti uguali: con uno di questi “terzi di cinturina” si faccia una cinturina più piccola. Questa è la cinturina che calza bene alla Luna. Si guardi la distanza tra Terra e Luna: è piccola, no? In fondo è solo un “passo”, un “gradus”, direbbero gli antichi. A proposito di gradi: se quella distanza è un grado, a che distanza corrisponderanno 360 gradi? Toh, che roba… giusto giusto la distanza Terra-Sole.

(Si tratta d’un metodo mnemonico o di un metodo costruttivo? Mah… come dice Woody Allen, basta che funzioni; e con me funziona abbastanza. I numeri da ricordare sono solo 10, 3 e 360, tutti molto familiari. Beh, poi bisogna per forza ricordarsi che l’equatore terrestre vale circa 40.000 chilometri… ma non dovrebbe essere difficile farlo. Se serve aiuto mnemonico anche in questo caso, la cosa migliore è forse ripassarsi la storia: dopo la Rivoluzione Francese, per istituire il “metro” si decise di misurare il meridiano terrestre, anzi il “mezzo meridiano”, quello che va dal Polo all’Equatore. E una volta misuratolo, si è deciso che un metro era esattamente la decimilionesima parte di quella grandezza (numero facile: dieci milioni). Per fare un equatore ci vogliono quattro “mezzi meridiani”, quindi quaranta milioni di metri, quindi 40.000 chilometri).

In alternativa, se vi piace procedere all’indietro, si può partire dalla fine, dalla distanza Terra-Sole, che si ricorda abbastanza bene se espressa in tempo/luce: 8 minuti, e a quel punto basta ricordarsi che la luce va a 300.000 chilometri al secondo.

Artificio Due: Superfici geografiche.

A proposito di 300.000: è un numero molto utile, per orizzontarsi nelle grandezze di estensione. Quando avvenne il disastro della Deepwater Horizon nel Golfo del Messico, i giornali riportavano che l’estensione della macchia di petrolio aveva ormai superato i diecimila chilometri quadrati; la maggior parte delle persone si rendeva conto che una tale cifra significava “gran bella macchia”, ma aveva difficoltà a metterla in relazione con qualche grandezza di estensione familiare. Bene, l’Italia ha questa accidentale, convenzionale e fortuita parentela con la velocità della luce, che può tornare utile. L’estensione del nostro bel paese è quasi esattamente 300.000 chilometri quadrati. Questo equivale a dire che sono italiani ben trenta milioni di ettari di superficie del pianeta, se un ettaro (quadrato di 100×100 metri, e “cento” e “etto” sono parole apparentate non per caso) vi è più familiare. Ma a me trecentomila piace più di trenta milioni, proprio per la parentela con la luce. Ad esempio, quando leggo che i deserto del Sahara è vasto nove milioni di chilometri quadrati, riesco a spaventarmi facilmente capendo al volo che allora equivale alla bellezza di trenta Italie. Se poi ricordo che in Italia ci sono venti regioni, mi è facile concludere che l’estensione della “regione italiana media” è pari a 15.000 chilometri quadrati. Certo, so bene che dentro la Sicilia c’entrano un sacco di Valli d’Aosta, ma una “grandezza media” è comunque molto utile: ad esempio, mi basta per capire che la macchia d’olio sversata nel Golfo del Messico era grande suppergiù come una piccola regione italiana. Come l’Abruzzo, diciamo.

Ah, cavolo. Proprio grandicella, la macchia…

E voi? Che trucchi mnemonici usate?

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Il problema di Marzo (523) – Imposte e gabelle (anzi dazi)

Rudi matematici - Ven, 03/30/2012 - 07:00

Ordunque. Come spiegare al colto e all’inclita (o, meglio ancora, a coloro che non hanno provato il sovrumano piacere di leggere la rubrica “Rudi Matematici” su “Le Scienze”) l’oscura ragione per la quale Piotr, nel disegno qua sopra riportato e ricondotto, si schiaffa in testa uno strano oggetto che solo con un po’ di fantasia può nomarsi “cappello”?

Beh, potere, si può. Ma se invece di spiegarlo lo lasciassimo come quesito aperto?  Non è certo un indovinello particolarmente esaltante, ma ci intriga in fatto che avremmo un “indizio” bello pronto da sottoporre agli aspiranti solutori: “Osservate”  - diremmo in quel caso con aria complice – “con quale accortezza Stefano, il nostro supremo illustratore, ha usato il medesimo colore per il cappello suddetto e la t-shirt di Alice. Potrà mai essere un caso?”

Certo, però se lo facessimo dovremmo poi metterci qui a spiegare che nel racconto Rudy offre ad Alice il “cappello da gabelliera” per convincerla ad ascoltare il problema, e quindi dovremmo accennare al fatto che il cappello non è dispiaciuto alla nostra Treccia preferita, che lo trovava adatto alla sua mise; e che tutto questo è stato magistralmente riassunto da Stefano mettendo ton-sur-ton la mise della nostra tres chic demoiselle. Et voila.

Ma il guaio è che, a voler discettare dei contenuti dell’illustrazione, che salta subito agli occhi come Rudy impugni una pipa, Alice una birra e Piotr (che incidentalmente è colui che sta scrivendo questa frase) rimane con il becco d’un cappello. Non si fa così. Meglio passare al problema vero e proprio, va. Vi ricordate in cosa consisteva?

Alice è questa volta gabelliera ad un dazio (se non sapete o non ricordate cosa siano dazi e gabelle, siete fortunati). Come tale può esigere sempre un quarto del valore del prodotto che passa per l’ufficio daziario, ma vale la strana regola che il valore del prodotto lo stabilisce il dichiaratore. Per contro la gabelliera, se vuole, può comprare tutto il carico al prezzo dichiarato senza che il proprietario possa opporsi: quindi questo devo stare attento a non dichiarare un valore irrisorio.
Per cominciare, supponiamo che Doc debba far passare per il dazio un carico che Alice potrebbe valutare 1000 euro. Quanto dovrebbe dichiarare allora il nostro eroe come valore di carico per ottimizzare il suo guadagno?
Ora complichiamo la situazione, e la logistica del dazio: la Gabelliera può decidere di acquistare quello che vuole, ma se non ha lo spazio dove mettere gli acquisti deve rinunciare. Rudy e Piero, sapendo che Treccia ha spazio per acquistare un solo camion al giorno, si mettono d’accordo di voler transitare con due camion di pari valore, e alla fine si divideranno fraternamente i guadagni. Quanto dichiara come valore di carico il primo autista?
Ipotizziamo ora invece che al dazio ci sia spazio per comprare due camion, e che Rudy e Doc arrivino con altri tre amici, con cinque bei carichi uguali. A quel punto come si comporteranno, sapendo che Alice può acquistare due dei cinque camion?
Si può generalizzare ulteriormente?

Questo è quanto. Ora, si dia inizio alle danze:

Stefano ci scrive:

Il problema si divide in due casi:

1) Alice sa il Valore Reale (VR) del carico.
Quando Alice compra il carico, deve essere sicura che ci guadagni rispetto a non comprare il carico, per cui si troverà: -VD+VR>VD/4. Il valore che i camionisti devono dichiarare (VD) è perciò: VD<4VR/5. Se VD è maggiore di 4VR/5, Alice, che conosce VR, non lo comprerà. Infatti ci perderebbe. I camionisti devono perciò dichiarare VD<4VR/5, situazione favorevole alla vendita del carico, fino a che Alice non potrà più permettersi di comprare per assenza di spazio disponibile ed a quel punto dichiarare un VD bassissimo così da pagarne solo la quarta parte.

2) Alice non conosce il Valore Reale (VR), ma solo quello Dichiarato (VD).
Esaminiamo ora dal punto di vista del camionista, desideroso di guadagnare. Se alice compra: VD-VR>0, in cui però VD può essere visto come VRk, cioè una parte o un multiplo del Valore Reale. Eseguendo i calcoli si perviene alla soluzione che k debba essere maggiore di 1.
Se Alice non compra: -VD/4+VR>0. Sostituendo VD con VRk, k<4.

Quindi, per essere sicuro di guadagnare, il camionista deve moltiplicare VR per k (1<4), e dichiarane il valore. Perciò VR<4VR.

Per contro,  Carlo C. dice:

Il sig. S passa attraverso una barriera daziaria con merce soggetta a dazio in quantità q.
L’imposta di dazio viene calcolata in ragione di una frazione “a” del valore dichiarato da S (a<1 nel caso in oggetto è 0,25 cioè il 25%)) .
Se p indica il valore unitario reale della merce transitata, il valore effettivo della merce che transita è Ve= p*q.
Indichiamo con b minore od uguale ad uno il coefficiente di riduzione che S applica al valore effettivo della sua merce al momento della dichiarazione.
Il daziere sig. D, che conosce il valore effettivo della merce in transito deve calcolare il valore dell’imposta sul valore dichiarato e può scegliere se fare pagare l’imposta o acquistare la merce (tutta o parte) al valore dichiarato. Lo spazio che ha a disposizione per immagazzinare la merce è limitato ed al massimo ne può acquistare una quantita Q.
S deve decidere che coefficiente di riduzione b usare nella dichiarazione per avere il minimo danno economico.
Il valore dichiarato da S è: Vd= p*q*b
L’imposta calcolata da D in qualunque caso risulta: I=p*q*a*b
Nel caso che D faccia pagare ad S l’imposta, ad S resta un valore residuo: Vr=Ve-I = p*q – p*q*a*b = p*q*(1 – a*b)
Nel caso in cui D decide di acquistare la merce si possono verificare i due casi:
- (1) q<Q il daziere D può acuistare tutta la merce
- (2) q>Q il daziere D può acquistare solo una parte pari a Q e sulla rimanente parte (q-Q) applica il dazio.
Nel caso (1) ad S resta il valore residuo corrispondente a quello da lui dichiarato: Vr=p*q*b
Per minimizzare il danno ad S conviene dichiarare un valore b tale da rendere indifferente la scelta non prevedibile di D, in pratica deve risultare:
p*q*(1-a*b)=p*q*b da cui si deduce b=1/(1+a). Nel caso in cui a=0,25 b=0.8 pari cioè all’80% del valore effettivo della merce.
Nel caso (2) ad S resta il valore residuo corrispondente al valore di acquisto della quantità Q da parte di D (al valore unitario corrispondente alla sua dichiarazione) più il valore residuo della parte (q-Q) che transita e su cui deve pagare il dazio: Vr= Q*p*b+(q-Q)*p-(q-Q)*p*a*b.
Come nel caso precedente S deve scegliere un coefficiente di riduzione b che renda indifferente la scelta di D per avere il minimo danno:
p*q*(1-a*b)=Q*p*b+(q-Q)*p-(q-Q)*p*a*b da cui si ottiene p*Q*(b-1+a*b)=0 che fornisce ancora b=1/(1+a). Quindi anche nel caso di acquisto parziale della merce da parte del daziere D la dichiarazione ottimale che deve fare S è ancora dell’80% del valore effettivo.

Certo Alvaro propende per una visione più sintetica:

Se ho capito bene il vostro fantasioso enunciato del problema, allora il valore più conveniente da dichiarare da parte dei trasportatori (T), se il carico unitario vale 1, è 4/5 ed è indipendente sia dal numero dei colli trasportati che dal numero di colli che la doganiera (D) incamera (se le conviene). Ci provo con una prova:
Un solo collo che vale 1 ma T dichiara il valore d; T perde 1- d se il collo viene acquisito da D e perde d/4 se D preferisce intascare il valore del dazio. Con 1- d = d/4 ricavo il valore ottimale (per T) d=4/5.
Se il numero di colli è N, D può – se le conviene – incamerarne n al prezzo d.
In questo caso T perde n(1- d)+(N – n) d/4 ma se D preferisce incamerare la tassa allora la perdita è Nd/4; quindi n(1- d)+(N – n) d/4= Nd/4 che poi fornisce brutalmente d=4/5.

Date uno sguardo anche alla  soluzione di Bruno, o alla soluzione di PierPaolo. E soprattutto azzuffatevi nei commenti: come al solito, non possiamo pubblicare tutte le soluzioni ricevute, quindi se qualcuno avesse voglia di riaprire il discorso (e magari riempirci di improperi per l’esclusione), sarà benvenuto.

A bientot!

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29 Marzo 1873 – Buon compleanno, Tullio!

Rudi matematici - Gio, 03/29/2012 - 07:00

“La scuola matematica italiana, che ha acquistato vasta rinomanza in tutto il mondo scientifico, è quasi totalmente creazione di scienziati di razza italica (ariana): basti ricordare, oltre Lagrangia, fra gli scomparsi […]. Essa, anche dopo le eliminazioni di alcuni cultori di razza ebraica, ha conservato scienziati che, per numero e per qualità, bastano a mantenere elevatissimo, di fronte all’estero, il tono della scienza matematica italiana, e maestri che con la loro intensa opera di proselitismo scientifico assicurano alla Nazione elementi degni di ricoprire tutte le cattedre necessarie.
(Commissione Scientifica dell’UMI, 1° dicembre 1938)

Chi di noi non ha conosciuto biologi che si sono prestati a difendere le teorie razziali; o economisti che hanno trattato come un progresso sociale quella macchina burocratica che fu il corporativismo fascista, o tecnici che hanno considerata l’autarchia come una conquista? […] È di costoro un nuovo genere di reato; il reato di prostituzione della scienza. Essi vanno inesorabilmente cacciati dalle Università, a colpi di frusta, come i mercanti dal Tempio.
(Gustavo Colonnetti, Pensieri e fatti dell’esilio)

È probabile che esistano dei veri e propri tabù, delle zone proibite, dei freni culturali che impediscono il normale funzionamento del senso critico, in certi casi. Ad esempio, il concetto stesso di “razza umana” è di difficile assimilazione e comprensione per alcuni (tra i quali pienamente ci riconosciamo), mentre per altri sembra essere del tutto evidente. Ora, è palese che in entrambi i casi esistono delle convenzioni squisitamente culturali che agiscono in un senso o nell’altro: alla fin fine, che ci siano delle differenze nelle caratteristiche somatiche generali dei boscimani e degli esquimesi è innegabile, e avrebbe ben poco gioco chi tentasse di negarle. Ma la classificazione, in questi casi, è sempre pericolosa, perché per alcuni (tra i quali non ci riconosciamo affatto) è facile cadere in tentazione ed estendere la classificazione delle differenze fisiche fino a includere nel computo anche differenze di capacità intellettuale o di predisposizioni etiche o morali.

Per quanto possa apparire ridicolo, una delle ragioni per le quali si può trovare assai difficile credere al concetto di “razza” è che non è poi così evidente scoprire a quale razza si appartenga. Durante l’infanzia e l’adolescenza di quelli che ormai rientrano, più o meno, nell’insieme dei cinquantenni europei occidentali, uno cerca di classificarsi: e se i film western lasciano pochi dubbi (“Noi siamo bianchi, non c’è niente da fare, i pellerossa sono gli indiani… peccato, perché ho sempre preferito le tende e i tomahawk agli appartamenti e alle pistole”) e le storie come la capanna dello zio Tom ne lasciano ancora meno (“È inutile che ci provi, anche se ti metti al sole per una settimana non ce la fai di sicuro a diventare scuro come Mandingo”), un dodicenne può seriamente porsi degli interrogativi sentendosi raccontare gli avvenimenti che hanno fatto da tragico contorno al secondo conflitto mondiale. Il fatto è che “gli ebrei” e “gli ariani” non sono facilmente riconoscibili; non è mica facile come riconoscere Rocky Balboa (bianco, insomma rosa pallido) mentre fa a pugni con Apollo Creed (marrone, ma tutti esagerano e dicono “nero”). E allora può capitare che un ragazzino indaghi con cautela in famiglia: “Mamma, ma noi siamo ebrei o cosa?”

La domanda è legittima, se proviene da un ragazzino: e il solo fatto che sia legittima dovrebbe bastare a far comprendere la colossale idiozia che si apposta sempre dietro l’angolo, quando si comincia a parlare di razze umane. Comunque, una mamma relativamente saggia e molto impegnata potrebbe rispondere in fretta con: “Beh, se tu fossi ebreo probabilmente lo sapresti già, no?”, ma in realtà questo soddisfa la curiosità dell’interrogante solo per un po’. Questo, per due ragioni essenziali: la prima è che, sfogliando le enciclopedie, quel poco che si riesce a capire è che questo fatto dell’essere o non essere ebreo sembra assai più una questione religiosa che una autentica questione di razza. La seconda – ancora più misteriosa – è che in questo contesto il contrario di “ebreo” sembra essere “ariano”, e questa è un’altra parola assai complicata, per un investigatore di dodici anni.

In realtà, il dirimere la questione “razza o religione”, per quanto riguarda l’ebraismo, è cosa così complicata che è virtualmente impossibile dirimerla a quell’età; e, crescendo, si riesce a comprenderla solo appurando che – come molti giochi di matematica ricreativa – si tratta in realtà di una domanda trabocchetto, d’un problema fittizio, volutamente mal posto. Più si legge, più si capisce quali siano le caratteristiche storiche, culturali e religiose del popolo ebraico, ma si capisce sempre meno quali siano queste “caratteristiche razziali”, al punto che poi uno semplicemente dimentica di continuare a porsi la domanda. Gli africani sono distinguibili, gli asiatici pure, e a ben vedere anche gli aborigeni australiani; gli ebrei no, e amen.

Rimane allora aperta la questione dell’essere o non essere ariano. Questa è cosa più complicata, perché se si chiede alla mamma o al papà “Ma noi siamo ariani?”, è assai probabile che sulle facce dei genitori interrogati passino delle espressioni molto, molto perplesse. La verità, semplicemente, è che non lo sanno; sanno che esiste il termine, che in qualche maniera è possibile, lecito, forse anche corretto essere classificati come tali, eppure, la certezza è tutt’altra cosa. Forse perché, sempre a causa dei film e dei documentari post-guerra, uno è abituato a figurarsi gli ariani come alti, biondi e con gli occhi azzurri, e non si può dire che siano questi i connotati più diffusi tra gli orgogliosi discendenti degli antichi Romani e degli abitatori della Magna Grecia. Poi, il termine è in qualche maniera inflazionato, bruciato; sembra un’espressione carica di significato, perché è stata certo usata diffusamente e diffusamente ripetuta, eppure mai perfettamente compresa, spiegata, storicamente collocata. Così, i genitori più acculturati e fautori del politically-correct potrebbero forse contrapporre al bambino interrogante un: “Meglio dire che siamo caucasici”, ma il rischio è quello di gettare il figlio in depressione, nell’ascoltare un termine tanto complicato. [Sembra oggi prudente parlare solo di “macrogruppi etnici”, che sono spesso ridotti ai soli aborigeni australiani, africani, mongoli e – appunto – caucasici. È interessante notare come il concetto di razza sia considerato superato grazie ad una sorta di valutazione “matematica”: le sottotipologie umane sfumano senza soluzione di continuità da una all’altra, e lo stesso succede anche con i macrogruppi. Soprattutto, e qui entra in gioco la matematica, è accertato che le differenze tra due individui dello stesso gruppo sono in genere maggiori delle differenze tra la media degli individui di due raggruppamenti diversi. Et voila, con questo è servito chi pensa che la statistica sia scienza fredda e disumana.]

A questo punto il ragazzino potrebbe decidere di procedere con le indagini solitarie, e qui rischierebbe un autentico tracollo psicologico. È infatti quasi inevitabile supporre che il termine “ariano” sia in qualche modo imparentato con l’arianesimo (nel senso di eresia) e con Ario (nel senso di eresiarca), specialmente quando si scopre che famosi personaggi storici di origine germanica, come Teodorico, erano appunto ariani. Ma l’Ironia della Storia sembra essere fin troppo evidente, visto che Ario – fin qui supposto dal nostro detective essere l’eroe eponimo della razza ariana – risulta nascere ben lontano dalle lande di Pomerania, visto che è un figlio di Libia. Eppure l’arianesimo risulta subito importante e rivoluzionario; sfogliando le summenzionate enciclopedie si è subito pervasi da una tensione decisa e permanente, generata e alimentata dai contrasti eretici sulla negazione della natura divina del Cristo, dalla conseguente decisa contrapposizione tra “barbari ariani” e “romani cattolici”. Una delle ragioni per le quali non si giunse ad una vera e propria guerra di religione, lasciando che alla fin fine tutto si componesse attraverso le decisioni del Concilio di Nicea, è che Ario era in fondo uomo saggio e di carattere prudente: “Non fatevi uccidere per le mie opinioni, potrei sbagliare”, è una frase diretta ai suoi seguaci, e meritatamente passata alla storia. Ma è anche vero che a questo punto la confusione rischia di assurgere a caos primigenio e definitivo, visto che tutta la drammatica contrapposizione “ebreo-ariano”, tragica protagonista dei campi di sterminio del XX secolo, sembra ridursi a questioni di eresie religiose vecchie già d’un paio di millenni.

Il fatto – ma non è facile scoprirlo – è che Ario non c’entra niente con la “razza ariana”. Questa infatti arriva non dalla Libia tramite sacerdoti eretici, ma dall’Asia attraverso l’indoeuropeo: “Arya” significa infatti (più o meno) “nobile”, e nel XIX secolo dei dotti decisero che, se esisteva la lingua indoeuropea, doveva per forza esistere anche il “popolo indoeuropeo” che quella lingua parlava; un gruppo etnico, insomma, portatore della lingua madre di tutti gli idiomi europei. In altri termini, è dalla linguistica che l’idea di “razza ariana” prende spunto; antichi documenti sembrano testimoniare che il termine “ariano” potesse essere una sorta di auto-identificazione dei primi indoeuropei, i quali peraltro sarebbero di provenienza smaccatamente asiatica. Non a caso, i primi testi che citano il termine “ariano” sono relativi a Dario Achemenide, il persiano “Re dei Re”, che si definisce, tra le altre cose, “ariano discendente da ariani”; ed è certamente significativo che sia il termine “Iran”, sia il nome originale dell’India (Aryavarta), sembrano discendere entrambi dal termine “arya” e significare “Terra degli Ariani”.

Tanto è bastato, ad alcuni ottocenteschi occidentali, per ipotizzare l’esistenza d’una pura etnia e da lì evocare il concetto della “razza ariana”; tale assunzione è ormai ritenuta sbagliata dagli studiosi contemporanei, ma ciò non di meno l’invenzione della razza ariana ha avuto il tempo di produrre un bel numero di guai. Il conte francese de Gobineau, ad esempio, cominciò con l’asserzione che gli Ariani sono i “bianchi puri”, per poi partire decisamente per la tangente asserendo che solo i campioni dell’aristocrazia sono riusciti ad essersi mantenuti come “puri Ariani”, mentre il “popolo” è frutto di commistione tra gli Ariani e altre razze inferiori. Insomma, questa storia della “razza ariana” come razza purissima e superiore non sembra proprio essere idea originale dei figli del Terzo Reich; anzi, questi sono stati anticipati anche dai loro acerrimi nemici, gli Inglesi, che quando dominavano l’India hanno fatto largo uso della “razza ariana” per confrontarsi con il locale sistema delle caste. In sostanza, si tentò di convincere gli scuri abitanti del subcontinente che gli Ariani avevano fin dall’antichità invaso l’India, e che furono loro i fondatori dell’Induismo dei Veda; quindi, in un certo senso, era naturale e giusto che la Gran Bretagna governasse la gigantesca nazione.

La cosa più curiosa, comunque, resta il legame a doppio filo con la lingua: in qualche modo i teorici dell’arianesimo (nel senso di teoria della razza) arrivano a concedere che tutti i popoli che discendono dagli originali “parlatori dell’indoeuropeo” siano etnicamente discendenti dei proto-Ariani; e questo, in fondo, dovrebbe garantire una origine comune a tutti gli Europei e sedare molti possibili conflitti razziali, ma c’è una grossa eccezione da considerare: appunto, gli Ebrei. Questi, per quanto siano “chiari” al pari degli Europei e vivano in Europa sin dai tempi della Diaspora, parlano una lingua di origine semitica, quindi non indoeuropea. Quindi, non sono ariani: quod erat demostrandum. Non resta allora che tirare le somme, senza dar troppo peso alla già menzionata Ironia della Storia, ma è difficile farlo in questo principio di XXI secolo: anche se finalmente si capisce che le piccole svastiche religiose che si trovano in tutta l’area indiana hanno effettivamente qualche parentela con il simbolo nazista [i nazionalsocialisti tedeschi ritenevano gli “Ariani del Veda” i veri progenitori dei Goti, dei Vandali e di tutte le popolazioni più puramente germaniche, e per questo scelsero la svastica, simbolo induista, come loro segno di riconoscimento], è arduo non sorridere nel guardare una mappa dell’espansione indoeuropea:

Difficile, perché è buffo notare che i biondi ariani sembrano in conclusione trarre la loro origine dalla regione che adesso ospita i più irriducibili fondamentalisti islamici, l’Afghanistan; se l’intolleranza potesse essere causata da un germe, sarebbe proprio il caso di fare delle analisi biologiche approfondite, in quelle regioni. Difficile, perché se alla fine gli ebrei traggono la loro diversità razziale dalla loro lingua non si può non sorridere pensando che al giorno d’oggi si tende a pensare come “prettamente ebraico” non la lingua ante-diaspora, ma lo yiddish, che invece è lingua di derivazione germanica.

È insomma inevitabile, anche a costo di apparire un po’ retorici, non notare che le ragioni dell’intolleranza, quasi senza eccezione, rischiano sempre di precipitare nel ridicolo; destino al quale sfuggono serenamente le ragioni della tolleranza, anche quando le condizioni al contorno sono diverse da quelle estreme dei campi di sterminio. La Grande Guerra, conclusa nel 1918 con la sconfitta degli Imperi Centrali, lasciò un lungo strascico di intolleranza da parte dei vincitori verso i vinti; certo, gli sconfitti erano anche stati gli aggressori che scatenarono il Grande Macello; certo, l’Europa – e con essa il mondo intero – non era avvezza ad un disastro di cotante dimensioni, ma comunque sorprende un po’, quasi cento anni dopo, rileggere l’allocuzione di chiusura del Congresso Internazionale di Matematica di Strasburgo, 1920, pronunciata da Emile Picard:

“Quanto a certe relazioni che sono state interrotte dalla tragedia di questi ultimi anni, i nostri successori vedranno se un tempo sufficiente lungo e un pentimento sincero potranno permetterle di riprenderle, e se coloro che si sono esclusi dal concerto delle nazioni civili saranno degni di rientrarvi. Noi, ancora molto vicini agli eventi, facciamo nostre le belle parole pronunciate durante la guerra dal cardinale Mercier: perdonare certi crimini, significa farsene complici”

Ed era certo vero che gli eventi della guerra erano “ancora molto vicini”; ma a ben vedere, era anche tutt’altro che un caso che la città scelta per il congresso fosse proprio Strasburgo, città simbolo delle contese franco-germaniche.

Era un periodo in cui la matematica aveva proprio in quella francese e in quella tedesca le sue scuole maggiori (come sempre, del resto); era invece decisamente meno usuale che la terza scuola matematica, nella classifica mondiale, fosse proprio quella italiana. E gli italiani, come i francesi, erano tra i vincitori della Prima Guerra Mondiale; fra loro, come del resto della nazione tutta, era molto diffuso il sentimento espresso nelle parole di Picard, ma vi era già qualcuno che invece lavorava perché l’intolleranza verso gli sconfitti fosse presto archiviata.

Questo qualcuno si chiamava Tullio Levi-Civita. Nato a Padova il 29 Marzo 1873, mostra assai presto di essere eccezionalmente dotato per la matematica. Si iscrive all’Università della sua città natale nel 1890; si laurea nel 1892, e già nel 1898, non ancora venticinquenne, ha già una cattedra, quella di Meccanica Razionale. Si trova così bene a Padova che respinge più volte gli inviti a trasferirsi a Roma, dove la “scuola matematica italiana” ha il suo centro maggiore; e a chiamarlo presso la capitale è Castelnuovo, uno dei matematici più prestigiosi del tempo. Però, quando la Grande Guerra finisce, Roma comincia davvero a porsi con forza come polo internazionale di matematica e attrae molto Tullio, che è sempre stato molto affascinato dall’idea dell’internazionalizzazione della Scienza. Questo, più d’ogni altra attrattiva, fa muovere il matematico padovano e lo convince nel 1918 a ricoprire la cattedra di Analisi Superiore all’Università La Sapienza.

Ma essere un pacifista e fautore dell’internazionalismo non è facile, in questi anni: l’allocuzione sopra riportata di Picard, ancora nel 1920 non è che un piccolo esempio del clima scientifico internazionale, che del resto non è altro che la realizzazione del programma del presidente statunitense Woodrow Wilson; questi, parallelamente ai suoi famosi Quattordici Punti, propone anche un metodo per gestire la ricerca scientifica, basato su un Concilio Internazionale delle Ricerche, che però era precluso alle nazioni sconfitte in guerra. Quanto poco sia gradita questa limitazione a Levi-Civita lo si può comprendere facilmente dalla sua lettera a Sommerfeld:

“Sono sempre stato, e non solo nella scienza, un internazionalista convinto […] noi concordiamo su un punto essenziale – e di questo mi compiaccio – che le relazioni scientifiche e le relazioni personali tra scienziati di diversa nazionalità non devono essere influenzate dalle situazioni contingenti o da riflessi degli attriti tra stati e nazioni.”

Quando scrive queste parole, Levi-Civita è già uno dei matematici più famosi del mondo: allievo di Ricci-Curbastro, ha perfezionato il calcolo tensoriale (o “calcolo differenziale assoluto”) del suo maestro fornendo ad Albert Einstein l’impianto matematico necessario alla Teoria della Relatività, e la stima del fisico più famoso del mondo sarà sempre assidua nei confronti del matematico padovano. Ma nonostante la straordinaria importanza di questo contributo alla celeberrima teoria, sarebbe comunque assai riduttivo pensare che solo a questo si riduca l’opera di Levi-Civita; non c’è quasi aspetto della fisica matematica che egli non conosca e al quale non dia contributi importanti. La dinamica di fluidi, la meccanica celeste, la meccanica analitica, il problema dei tre corpi, la teoria degli Invarianti Adiabatici, che trovano applicazione anche nella Meccanica Quantistica; e, del resto, la mano di Levi-Civita ha lasciato la sua impronta non solo nei lavori di Einstein, ma anche in quelli di Dirac. A questa prolifica attività di ricerca fa da continuo contraltare quella di educatore, visto che scrive volumi importanti e completi: con Ugo Amaldi scrive tre volumi di “Lezioni di Meccanica Razionale” che, quando arrivano sulla scrivania di Max Born, fanno dire al fisico tedesco che “non esiste ancora un’opera in tedesco di pari mole e significato”.

Eppure, col senno di poi di cui sono proverbialmente piene le fosse, è un po’ triste constatare che il trasferimento a Roma, avvenuto nel 1918 per arrivare al centro delle intersezioni scientifiche internazionali, deve fare i conti con la storia, che solo quattro anni dopo indirizzerà l’Italia verso una direzione abbastanza lontana dalle “collaborazioni internazionali”. Il regime fascista non ci mette molto a volgere la sua attenzione anche all’area della scienza e della didattica; e se, almeno all’inizio, le pressioni sui professori e sui docenti non sembrano essere troppo diverse da quelle esercitate normalmente su tutti i cittadini, dopo qualche tempo si nota una maggiore “attenzione” delle alte gerarchie fasciste sul corpo insegnante. Uno dei momenti di maggior tensione è legato alla formula di giuramento al quale si devono sottoporre i docenti universitari: non tanto per l’istituzione della formula – perché non era una novità – ma per le modifiche in essa indotte. Inizialmente, la formula del giuramento era la seguente:

“Giuro di essere fedele al Re e ai suoi Reali successori, di osservare lealmente lo Statuto e le altre leggi dello Stato, di esercitare l’ufficio di insegnante e di adempiere tutti i doveri accademici col proposito di formare cittadini operosi, probi e devoti alla Patria. Giuro che non appartengo, né apparterrò ad associazioni o partiti, la cui attività non si concilii con i doveri del mio ufficio”

La formula viene modificata con il Regio Decreto n. 1227 del 28 Agosto 1931: le modifiche non sono molte, ma significative:

“Giuro di essere fedele al Re, ai suoi Reali successori e al Regime Fascista, di osservare lealmente lo Statuto e le altre leggi dello Stato, di esercitare l’ufficio di insegnante e di adempiere tutti i doveri accademici col proposito di formare cittadini operosi, probi e devoti alla Patria e al Regime Fascista. Giuro che non appartengo, né apparterrò ad associazioni o partiti, la cui attività non si concilii con i doveri del mio ufficio”

La matematica italiana ha, in quel periodo, un “grande vecchio”, un nome prestigioso, universalmente stimato e apprezzato. È quello di Vito Volterra, non più giovanissimo, ma senza dubbio estremamente influente; forse proprio in forza alla sua fama, alla sua anzianità e al prestigio del suo nome, Volterra è uno dei pochi che può permettersi – e che comunque trova il coraggio di farlo – di rifiutare il giuramento. È una lettera breve quella che il matematico, che era anche Senatore del Regno, indirizza a Gentile, massima autorità del Ministero dell’Educazione:

“Sono note le mie idee politiche per quanto esse risultino esclusivamente dalla mia condotta nell’ambito parlamentare, la quale è tuttavia insindacabile in forza dell’articolo 51 dello Statuto fondamentale del Regno. La S.V. Ill.ma comprenderà quindi come io non possa in coscienza aderire […] al giuramento dei professori.”

Ma sono davvero pochi coloro che riescono ad imitare il comportamento di Volterra; e le ragioni sono molte: certo, soprattutto il timore di vedere sfumare lavoro, carriera, quanto di elementarmente necessario alla sopravvivenza. Ma un po’ conta anche, per dirla con Croce, il desiderio di “non abbandonare ai barbari” tutte le cattedre delle università. In questa difficile situazione, Levi-Civita scrive al suo rettore:

“Pur rispettano sempre meticolosamente leggi e regolamenti, concepii fin dalla prima giovinezza e seguitai a coltivare, anche dopo il 1922, idee democratiche e socialiste, le quali, dal punto di vista politico (assai meno nei riguardi economici) discordano da quelle cui si ispirano le direttive del regime. Tali idealità ho finora potuto mantenere almeno di fronte alla mia coscienza e all’ambiente intellettuale. La nuova formula di giuramento […] mi sembra precludere persino la semplice, leale affermazione di un dissenso spirituale. Se però Ella, Magnifico Rettore, mi potrà autorevolmente dar atto che ciò non è, mi presenterò senz’altro a giurare entro il termine fissato. In caso diverso non potrò io violentare il mio sentimento e starò con evidente rammarico, ma con animo sereno, in attesa delle sanzioni che l’Autorità Accademica intenderà promuovere a mio carico.”

Tullio Levi-Civita infine giura, e rimane all’Università. Forse ottenne le rassicurazioni che chiedeva, forse decise di restare al suo posto di lavoro per senso del dovere, forse decise così soprattutto per timore delle conseguenze. Non è davvero facile poter capire cosa, in ultima analisi, lo indusse a restare, ma restò.

Purtroppo, però, la richiesta di giurare fedeltà al regime non era la prova più dura cui dovevano sottoporsi alcuni scienziati. Per alcuni di loro, se la loro “razza” risultava diversa da quei proto-indoeuropei che arrivavano dall’Asia centrale, bisogna ancora fare i conti con le leggi razziali del 1938.

Se la scuola matematica italiana è la terza al mondo, nei primi anni del XX secolo, lo deve certo anche al massiccio contributo dei matematici di religione ebraica: Vito Volterra, Guido Castelnuovo, Federigo Enriques, e naturalmente Tullio Levi-Civita, sono tutti ebrei, e sono solo la punta dell’iceberg. Ma le leggi razziali del 1938 impediscono ai giudei di insegnare, oltre che di prestare servizio militare, fare da tutore, possedere imprese interessanti la difesa nazionale, possedere terreni o fabbricati, avere domestici ariani, e quindi una parte essenziale della scienza matematica italiana viene allontanata dalle cattedre. Il giuramento non serve e non conta, se non si è ariani; ma sul significato della parola “ariano” si è già detto abbastanza. Tra coloro che non sono più ritenuti degni di insegnare, si trovano alcuni nomi che rimarranno nella storia della matematica, e non solo in quella nazionale: Guido Ascoli (Milano), Ettore Del Vecchio (Trieste), Federigo Enriques (Roma), Gino Fano (Torino), Guido Fubini Ghiron (Torino), Guido Horn D’Arturo (Bologna), Beppo Levi (Bologna), Tullio Levi-Civita (Roma), Arturo Maroni (Pavia), Giorgio Mortara (Milano), Beniamino Segre (Bologna), Alessandro Terracini (Torino).

In questa sottile perversione, il regime fascista è in ritardo nei confronti della Germania nazista; nel Reich il microbo dell’intolleranza era cresciuto in fretta, ed era in opera fin dal 1933. Guido Fubini, grande matematico del Politecnico di Torino, già in quell’anno scriveva a Levi-Civita:

“Carissimo Levi-Civita,
sottopongo a te una questione. Dato l’hitlerismo imperante, non ti pare che noi dovremmo dimetterci dalla Deutsche Mathematische Vereinigung? Dopo quanto ha subito Einstein, dopo i fatti di Lipsia ecc., a me questo pare doveroso: ma non so se è cosa opportuna, e se ciò può danneggiare i nostri disgraziati colleghi”

Sempre in quel periodo, i “vecchi” Castelnuovo e Volterra si scambiano impressioni del tutto analoghe:

“…quel che si sa basta già a far prevedere che nessuno andrà più a studiar matematica, e forse nemmeno fisica, nelle Università tedesche. E la scuola matematica di Gottinga, dopo un secolo ininterrotto di gloria, si chiude!”

E già in quel periodo, i primi colpi arrivavano a scuotere l’Italia e gli italiani. Ma è proprio il 1938, vigilia della Seconda Guerra Mondiale, l’anno in cui la tragedia comincia a prendere forma. Tra le molte altre cariche ed attività, Tullio Levi-Civita ha anche l’onore e l’onere di far parte della Zentralblatt für Mathematik, prestigiosa rivista di recensioni matematiche che fa da vero centro informativo essenziale per la comunità scientifica continentale. Nel 1938, Levi-Civita viene esonerato dalla carica di condirettore di “Annali della Matematica”, e parallelamente l’editore tedesco Springer sostituisce d’ufficio il padovano dalla redazione dello Zentralblatt, rimpiazzandolo con Bompiani e Severi. Ma lo Zentralblatt, seppur tedesco, è animato da matematici di tutte le nazioni. Neugerbauer, olandese, chiede subito chiarimenti sulla ragione dell’allontanamento di Levi-Civita e, appurata la ragione razziale, si dimette dalla redazione. Si dimettono anche tutti i grandi nomi americani e anglosassoni: Courant, Veblen, Tamarkin, Bohr e Hardy. L’allontanamento di Tullio Levi-Civita provoca di fatto la scomparsa dello Zentralblatt, che di fatto muore editorialmente poco dopo, e sarà sostituito nel ruolo dall’americano “The Mathematical Reviews”.

Questo, e non solo questo, fanno sperare che i propugnatori di slogan assolutisti come il sempre presente “Tolleranza Zero” debbano fare i conti con una aritmetica delle emozioni assai più complessa di quella che son soliti maneggiare, che ricca di positivi, negativi, interi, reali, complessi, nel quale “zero” è solo cittadino al pari degli altri, non privilegiato nemmeno dall’incrocio degli assi.

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Non sempre siamo corretti, e spesso non citiamo le fonti né la bibliografia che sorregge i nostri “compleanni”. Stavolta, però, la fonte è virtualmente una sola, ed è stata praticamente saccheggiata senza ritegno quasi in ogni singola citazione in corsivo, e non solo. La citazione in nota potrebbe non essere sufficiente a placare l’ira funesta degli autori, ma almeno questo dobbiamo farlo. Ebbene, quasi tutto l’articolo è un volgare e raccogliticcio collage dei contenuti del bellissimo “Matematica in camicia nera – Il regime e gli scienziati”, di Angelo Guerraggio e Pietro Nastasi – Bruno Mondadori editore, 26 euro. Leggere il libro è decisamente più interessante che leggere questo nostro articolo, e non lo diciamo solo per evitare una causa di plagio.

Categorie: Le Scienze - Matematica

Realm

Rudi matematici - Ven, 03/23/2012 - 07:00

Finalmente un gioco abbastanza complicato: se per le prossime vacanze al mare sarete diventati degli esperti, ritenetevi liberi di occupare l’intero arenile. Il gioco  non è semplice (e anche trovare i pezzi non è una passeggiata) e ha una storia dietro di sé.

La storia

Il gioco è stato inventato da Philip Orbanes e da Sidney Sackson, i due mitici fondatori della Gamut of Games (società) nonchè autori di A Gamut of Games (libro). La società, purtroppo, tempo fa chiuse: Orbanes passò alla Parker Brothers e (causa evidente conflitto di interessi) non sviluppò più “Realm”. Il ruolo di Cavaliere Bianco (nel senso di salvatore: se vi piace di più il termine Principe Azzurro, fate pure) in questo caso è giocato da William Mikulas e Stanley Levin, che acquistarono i diritti del gioco e, producendone alcune copie, provarono a proporlo ai “big” del settore. Nonostante un certo qual interesse mostrato da alcuni, nessuno ha deciso di produrlo e quindi il gioco è, per così dire, “nel limbo”.

Quindi, non so se sto violando un copyright: se sì, stampate il tutto su una meringa e poi inghiottite le prove, prima della perquisizione.

La traduzione

Una cosa che ho fatto è stata quella di tradurre i termini utilizzati; per riconoscimento verso gli inventori, qui di fianco vi metto i termini originali e la mia traduzione.

Liberissimi, poi, di dirmi che la mia traduzione fa schifo e usarne altri termini (su un paio, sono d’accordo con voi).

Equipaggiamento

Nella figura da qualche parte vedete la scacchiera (se non vi piace “scacchiera”, chiamatela “Impero“: fatela più grossa di così, io sono stato limitato da problemi tipografici), di 144 caselle che formano 16 Reami di nove Province ciascuno; al centro di ogni reame c’è una Capitale (indicata dalla Provincia Cerchiata), le altre otto province formano il Confine di un Reame.

Per i pezzi, la cosa si fa un po’ complessa: vi servono, per ogni giocatore (Bianco e Nero), 3 Poteri, 8 Guardiani, 12 Castelli. Per quanto riguarda i Castelli (quadrati) e i Poteri (rotondi) niente di grave, bastano le solite monete diverse; il guaio sono i Guardiani, che devono avere due caratteristiche particolari: tanto per cominciare, devono essere in grado di puntare in una direzione, e poi deve essere possibile distinguere quando sono Immobili (triangoli isosceli, sul retro hanno un puntino grigio: nel disegno ci sono due copie per ogni colore dei Guardiani, e la seconda ha un puntino grigio: si vede?); se trovate delle idee migliori per farli ditecelo, sono approvate sin da adesso.

Inizio – Prima Fase

Stabiliamo (nell’originale non è specificato) muova per primo il Bianco; a questo punto, il Bianco deposita un Castello nella Capitale di un qualsiasi Reame e il Nero effettua una mossa simile, posizionando un Castello nella Capitale di un qualsiasi Reame vacante (ossia senza Castelli).

Nella seconda mossa (che segue la stessa logica della prima) il bianco non può mettere un Castello in una Capitale che sia in posizione di torre con un suo Castello; è possibile invece se il Castello è dell’avversario.

La terza mossa segue la stessa logica; a questo punto, ogni giocatore ha tre Reami Amici nell’Impero.

Inizio – Seconda Fase

Successivamente, i due giocatori iniziano a posizionare i Poteri: È possibile posizionare un Potere su una Provincia di Confine di qualsiasi Reame Amico. Ossia sulle caselle che restano libere di ogni Reame precedentemente occupato da un Castello. Durante questa fase, si può avere solo un Potere per ogni Reame Amico. Il Potere può essere posizionato su qualsiasi Provincia di Confine di un Reame Amico.

Dopo tre mosse di questo tipo, chiaramente, termina la seconda fase. Per il seguito, è necessario sapere come muovono i pezzi.

Movimenti

I Castelli sono immobili; una volta piazzato su una Capitale, non si può muovere.

I Poteri si muovono come delle torri: ortogonalmente, di quanto vogliono, sono bloccati da un qualsiasi altro pezzo (nella Provincia precedente, non gli vanno “sopra”). Un Potere può passare su una Capitale di un Regno Vacante, ma non può fermarsi sulla Capitale di un Regno Vacante.

I Guardiani muovono nello stesso modo dei Poteri, ma possono muovere solo nella direzione in cui sono puntati. Inoltre, prima di muovere un Guardiano può ruotare di un quarto di giro in qualsiasi direzione. Quindi, in pratica il Guardiano può muoversi in qualsiasi direzione tranne quella da cui proveniva. Quando un Guardiano termina la mossa, resta puntato nella direzione in cui si trovava.

I Guardiani Immobili non possono muovere.

Eventi Speciali

Quando un qualsiasi pezzo ha terminato il suo movimento, può causare un evento speciale:

• Un Potere fonda un Castello: Quando un Potere termina il suo movimento in un Reame Vacante e non ci sono Poteri Nemici nel Reame, viene creato un Castello (Amico), che viene posizionato nella Capitale.
• Un Potere genera un Guardiano: Quando un Potere termina il suo movimento in un Reame Amico in cui non si trova nessun Guardiano Nemico (Mobile), viene creato un Guardiano Amico, che viene posizionato in qualsiasi Provincia (di Confine) Vacante del Regno e posizionato nella direzione desiderata. Se non esistono Province di Confine Vacanti, il Guardiano non viene generato.
• Un Guardiano immobilizza un Guardiano Nemico: Se un Guardiano si ferma in un Reame nel quale esistono uno o più Guardiani (Mobili) Nemici, uno dei Guardiani Nemici è Immobilizzato e immediatamente girato (a mostrare il puntino). Se nel Reame ci sono più Guardiani Nemici, va indicato quale si intende immobilizzare. Anche il Guardiano Attaccante diventa Immobile, a meno che nel Reame vi siano più Poteri Amici che Poteri Nemici.
• Un Guardiano cattura un Castello Nemico: Quando un Guardiano si ferma in un Reame contenente un Castello Nemico, nessun Guardiano Nemico Mobile, più Poteri Amici che Poteri Nemici, allora il Castello Nemico viene catturato. Il Castello viene rimosso dall’Impero e trattenuto dal giocatore che l’ha catturato sino alla fine del gioco. Insomma, se l’avversario fonda un altro Castello non può usare quello lì. Deve prenderli dalla sua “riserva”, e se non ne ha più non fa niente. Stessa cosa per i Guardiani: se sono Immobili, non si muovono più per tutta la partita e quando ne generate uno prendete dal mucchio. Se c’è solo un Potere Amico più che Poteri Nemici, il Guardiano diventa Immobile; se i Poteri amici sono almeno due in più, il Guardiano resta Mobile.

Gioco

Muovendo i pezzi come indicato, a ogni turno il giocatore decide che tipo di mossa compiere. Esistono tre tipi di mossa:

• Dispersione: è possibile muovere un qualsiasi numero di pezzi che si trovino in un Regno verso uno o più altri Regni; il Regno di partenza deve essere unico, i Regni di arrivo possono essere vari (devono essere diversi dal Regno di partenza).
• Concentrazione: è possibile muovere due o più pezzi da un qualsiasi punto dell’Impero verso un singolo Regno; il Regno di arrivo non può essere uno dei Regni di partenza.

Sia nella Dispersione sia nella Concentrazione, ogni volta che si muove un pezzo si verifica se dà origine ad Eventi Speciali e, prima di muovere il prossimo pezzo, si risolve l’Evento Speciale (sembra quindi meglio muovere prima i Poteri, poi i Guardiani…).

• Posizionamento: un giocatore può riposizionare come crede (variando anche la direzione di un Guardiano come preferisce) i pezzi all’interno di un Reame, inclusi i propri Guardiani Immobili (che rimangono però Immobili); non può riposizionare i pezzi avversari che si trovassero all’interno di quel Reame; questa “mossa” si svolge tutta all’interno dello stesso Reame, e non causa Eventi Speciali. Un giocatore non può riposizionare lo stesso Reame tre volte di seguito.

Obiettivo

Il gioco termina quando un giocatore ha fondato tutti i suoi Castelli o si vede che non è possibile fondare altri Castelli da parte di nessun giocatore; in questo caso la vittoria è del giocatore che controlla il maggior numero di Reami; se entrambi controllano lo stesso numero di Reami, si verifica quale giocatore ha più Guardiani (Mobili) e Guardiani non generati; se anche qui siamo pari, è patta.

Variazioni

Chi più ne ha, più ne metta… In realtà, l’unica che mi pare interessante è quella del Sacrificio dei Poteri: un Potere può sacrificarsi rendendo nuovamente Mobile un Guardiano Immobile del Reame in cui si trova. Essendo una variazione, non aspettatevi eccessivi dettagli; fate voi, se si tratta di una Mossa o di un Evento Speciale e se potete rigenerare il Potere (inventandovi un altro Evento Speciale) o no. Io non ci gioco, quindi fate voi.

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Quick & Dirty – Tappo Rotondo in buco quadrato

Rudi matematici - Ven, 03/16/2012 - 07:00

Credo conosciate tutti il modo inglese per esprimere il concetto di cosa raffazzonata e inadatta all’uso che se ne sta facendo: “A square peg in a round hole”.

Ma secondo voi, è meglio un tappo quadrato in un buco rotondo o un tappo rotondo in un buco quadrato?

… e non cominciate a concionare sul fatto che “meglio” è parola troppo generica e poco definita: ricordate sempre che questo post è categorizzato come “Quick and Dirty”, quindi deve essere un po’ sporco per forza; e che il blog è caratterizzato dall’aggettivo/sostantivo “Rudi”, e quindi abbiamo diritto ad essere rozzi e poco precisi.

… e poi, alla fine, un tappo è “meglio” se meglio fa la funzione di tappo, no?

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Bruttezza classica

Rudi matematici - Ven, 03/09/2012 - 07:00

Recentemente, per motivi completamente avulsi dalla matematica, abbiamo lurkato (si dice? Insomma, ce lo siamo letto senza lasciare traccia) un blog che si occupa di letteratura attiva (ossia, di scriverla): ci siamo trovati ragionevolmente d’accordo con una strapazzatura de I Promessi Sposi, e la cosa ci ha dato da pensare; prima, però, vorremmo chiarire che l’unico punto sul quale non siamo d’accordo con la blogger è che secondo noi certe cose vanno spiegate con maggior calma, dovizia di particolari e un centinaio di pagine di note a margine: consci del fatto che queste cose ben difficilmente possono essere applicate in un blog, annuiamo pensosi ma non oviamo entusiasticamente (”oviare” è il verbo dal quale deriva ovazione, o almeno dovrebbe, se l’italiano e Rudy fossero in un buon rapporto).

[Gli altri due terzi della Redazione rimangono convinti che "ovazione" derivi dal greco "oyazein", acclamare, o al più da "ovis", pecora, perché in nome dei generali bravi abbastanza da essere festeggiati, ma non abbastanza da meritarsi il Trionfo, gli antichi Romani offrivano agli dei il sacrificio di ovini. Ma il Capo è sempre il Capo, quindi tacciamo e ci limitiamo a notificare tra parentesi - N.d.A.R.&P.R.S.]

Di sicuro, comunque, la stroncatura de I Promessi Sposi ci ha fatto venire un dubbio. Rudy è pienamente d’accordo con l’autrice del blog (salva poche pagine, dall’opera), ma ogni volta che si azzarda a dirlo, è una pletora di “…Ma Insomma! Manzoni!” E la “i” maiuscola non è un errore, si sente benissimo.

Siamo abituati a considerare i Classici come esempi preclari di Bellezza Classica, ma siamo sicuri? Tra i Classici della Matematica Ricreativa, ad esempio, Rudy è convinto che ci siano svariate brutture; ad esempio, ha dei grossi dubbi sul metodo “classico” risolutivo di un problema di Loyd. Vi diamo (abbreviato, ma con le misure originali) il problema di seguito: se volete provare a risolverlo, tra qualche tempo vi daremo la soluzione originale, giudicherete poi voi se sia da considerare una “bellezza classica” o uno “sproloquio neanderthaliano”. Ma prima, un ricordo dall’infanzia di Rudy: data l’età, non si ricorda se ve l’ha già raccontato.

L’unica volta che mia zia mi ha tirato uno schiaffo, è stato la mattina dello sbarco sulla Luna dell’Apollo 11; il ricordo (appunto perché unico) è abbastanza traumatico, e un trauma simile lo ha avuto, nello stesso momento, quella che anni dopo è diventata mia moglie: infatti suo padre (che ancora non sapeva di essere destinato a diventare mio suocero) commentò lo sbarco con un “Ah, tanto non ce la fanno, a tornare…”.

Il problema del ritorno, in realtà, era già stato affrontato anni prima da Samuel Loyd: l’idea era (presumendo la presenza di atmosfera a pressione costante tra qui e la Luna… non stiamo a sottilizzare) di legare una corda ad una mongolfiera: salire sin quando era necessario (si chiama punto abarico, se non ricordiamo male), poi cominciare a sgonfiare il mezzo, allunare, piantare la bandiera (della Guascogna, si presume… senza offesa per nessuno) e poi essere tirati indietro grazie alla corda.

Impeccabile, come sistema. Ma il nostro problemista ci pone un enigma…

Da bravi americani, abbiamo approntato un gomitolo sferico di corda del diametro di 24 pollici (ve l’avevo detto… americani…), e la corda ha una sezione di un centesimo di pollice (cribbio, ma è uno spago da neanche legarci l’arrosto! E mettere qualche dollaro in più nel budget? No, eh?), avvolto così stretto da non lasciare alcuno spazio vuoto; ora, quello che ci si chiede, è se la corda sia sufficiente o no per arrivare sino alla Luna.

A noi non piace il metodo usato da Loyd per risolverlo: non arriviamo a dire che sia sbagliato, ma non ci convince…

Provate voi, e vediamo se ottenete lo stesso risultato con un metodo migliore (o anche un risultato diverso… Va bene tutto, basta che ci convinca!).

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Il problema di Febbraio (522) – La corsa delle patate

Rudi matematici - Lun, 02/27/2012 - 07:00

Sam Loyd è sempre Sam Loyd. Si mette lì, a seminare patate in fila, ad inventare corse più lunghe della maratona (e con handicap, perfino), e ci lascia con un palmo di naso. Il problema di questo mese, ve lo ricordate? Fa più o meno così:

Immaginate una fila di 100 patate, a dieci metri una dall’altra, con la prima a dieci metri dalla partenza.
Rudy e Alice partono, corrono verso la prima patata: il primo che arriva la raccoglie e corre indietro a posarla nel cesto che sta sulla linea di partenza, e riparte… intanto il più lento avrà preso la seconda, e così via. Vince chi piazza nel cesto per primo 50 patate.
Quanti metri percorrono Rudy e Alice in tutto? E sopratutto, visto che che Rudy è più veloce di Alice del 2,04%, si decide di dare ad Alice una patata di vantaggio: prima della gara Treccia può andare con calma lungo la fila, scegliere la migliore e e portarla nel cesto. E poi si comincia. Alice riesce a vincere, in questo modo? Di quanto? Quale patata omaggio toglie dalla fila?

Sam Loyd dice che la patata migliore da togliere è la novantanovesima: a lume di naso, la cosa appare logica, perché è evidente che conviene togliere una delle ultime (perché sono le più “costose” in termini di spazio da percorrere, e quindi più remunerative come “vantaggio”); inoltre, finché la maggiore velocità di Rudy non gli consentirà di riuscire a prendere due patate di fila (se mai glielo consentirà ), è altrettanto evidente che Rudy prenderà le patate dispari e Alice quelle pari. Così, tirando via la novantanovesima, dispari, si costringerà Rudy a prendere la centesima, che è ancora più costosa in termini di spazio e tempo.

Questo l’approccio “qualitativo”, che ci vedeva d’accordo con Loyd. I conti non ci tornavano alla perfezione, ma si sa che noi con i conti ci imbrogliamo sempre. Aspettavamo quindi con ansia le soluzioni dei nostri migliori affezionati svisceratori di problemi, e naturalmente non siamo stati delusi.

Oddio, non che siano tutti d’accordo fra loro… ma questo non capita quasi mai, e del resto è meglio così, a beneficio della discussione.

Cominciamo da Bruno, che questa volta è stato il più veloce:

La prima cosa che salta agli occhi nel risolvere il problema è l’enorme distanza da percorrere (circa 50 Km) a testa.
Ce la faranno Alice e Rudy a percorrerla? Non ho dubbi che possano essere allenati ma…
Intuitivamente si può pensare che scegliendo una patata distante (e quindi diminuendo la distanza complessiva da percorrere) ci siano maggiori possibilità di mantenere il distacco di una patata rispetto a Rudy che è più veloce. Questo in parte è vero, infatti aumentando la distanza della patata tolta aumenta il distacco, però risulta importante anche se si sceglie una patata di posto pari o di posto dispari infatti Alice vince se si elimina una patata di posto dispari e perde se si elimina una di posto pari (a parte il caso 100).
È molto importante anche la velocità relativa di Rudy (quel valore così preciso mi ha fatto subito venire il sospetto), infatti con valori più bassi si sposta l’equilibrio verso Alice e viceversa. In allegato c’è una tabella (con i relativi grafici) relativa a tutti i casi possibili.
La soluzione l’ho ottenuta attraverso una simulazione che si può vedere qui.
Nella stessa ho dato l’opportunità di variare i parametri numero di patate e velocità di Rudy ed inoltre si possono ottenere tabelle simili a quella allegata.

Beh, la tabella non ve la passiamo, tanto potete costruirvela giocando con le soluzioni. Quel che è certo è che le simulazioni di Bruno ormai ci stanno viziando: sono uno strumento davvero comodo per analizzare i problemi.

Vediamo cosa scrive Ignazio: nella sua analisi ha messo in corsa Piotr al posto di Rudy (del resto è davvero insolito che il GC si produca in attività fisiche, nelle nostre storielle, e l’errore è comprensibilissimo), ma il suo ragionamento è comunque perfettamente leggibile:

Il percorso è individuato da  “n” punti (da 0 a 100) posti ad una distanza “d = 10 metri” uno dall’altro. Con le regole stabilite da Piotr, con la sua maggior velocità del 2,04 per cento, e con il vantaggio di una patata ad Alice, lo svolgimento della gara avrà la seguenti caratteristiche:

1)      Piotr prenderà  le patate poste ai numeri dispari ed Alice quelle poste ai numeri pari, fino a che non sarà raggiunto il punto cui è stata tolta la patata omaggio.

2)      Si può verificare senza grandi difficoltà che la lunghezza del percorso attuato da Alice prima di raggiungere il punto dove era posta la patata omaggio è  La = 5n2. Cioè quando Alice raggiunge il punto 2 e prende la sua patata ha percorso 5×22 = 20 metri; quando Alice raggiunge il punto 4 e prende la sua patata ha percorso 5x 42 = 80 metri, e così via.

3)      Si può ugualmente verificare senza grandi difficoltà che la lunghezza del percorso attuato da Piotr fino al punto pari in cui Alice prende le patate è Lp = 5n2 + 10n. Cioè quando Piotr raggiunge il punto 4 (in cui Alice ha preso la sua patata) ha precorso 5x 42 + 10×4 = 120 metri, e così via.

4)      In generale, quando Piotr raggiunge il punto pari in cui Alice prende la sua patata, ha attuato una maggiore lunghezza di quella attuata da Alice pari a “10n”. Piotr vincerà la partita se il tempo per percorrere questa maggior lunghezza è annullato dalla sua maggior velocità. Questo accadrà quando l’aumento percentuale della lunghezza del suo percorso rispetto a quello attuato da Alice è minore della sua maggiore velocità percentuale.

5)      In numeri viene: (10n)/5n2 < 0,0204; da cui  “n” > 2/0,0204; “n” > 98,03 , cioè oltre la postazione 98.  Quindi Alice potrebbe decidere di prendere la sua patata omaggio al punto 99, e dare un grande suspence alla gara: precede di qualche centimetro Piotr (che ha già preso 49 patate) al punto 98, prende la sua cinquantesima patata e vince la partita.

6) Io non lo farei. Piotr ha rivendicato cognizione di causa nello avere stabilito nel 2,04 per cento la sua maggior velocità. Nel mondo platonico si può fare e rivendicare. Ma la gara si svolge nel nostro mondo; occorre aggiungere a quel 2,04 per cento un margine di errore correlato al nostro mondo. Poiché sono in gioco velocità di esseri biologici con le loro limitazioni prestazionali, un margine di errore del più  o meno 1% è il meno che occorre riconoscere. Cioè quel 2,04 potrebbe diventare 2,04×1,01 = 2,06. E allora “n” > 2/0,0206 = 97 e Alice perderebbe la partita. Io prenderei la patata omaggio al punto 97. Piotr potrà prendere la sua patata numero quarantanove al punto 98 e tornerà indietro lasciando ad Alice tutto il tempo necessario per raggiungere il punto 99 con cui prende la sua cinquantesima patata e vince la partita in  tutta sicurezza.

7) Osservazione Avere stabilito in 10 metri la distanza fra le postazioni delle patate è un dato irrilevante per questo problema. Ciò che conta sono: a) la regola di svolgimento della gara, b) la maggiore velocità percentuale di Piotr, c) il vantaggio di una patata in omaggio, d) il numero (100) delle patate gioco. Avere stabilito in 10 metri la distanza fra le patate costringe Piotr ed Alice ad una inverosimile marcia di circa 50 chilometri. Se le patate fossero state poste ad un metro una dall’altra la marcia si sarebbe ridotta  a 10 chilometri, sempre molti, ma perseguibili con qualche allenamento.

Che ne dite? Camillo invece l’aveva affrontato così:

Bella maratona visto che dovreste sorbirvi una cinquantina di chilometri.
R essendo più veloce si prende tutte le patate in posizione dispari ed A quelle in posizione pari, per cui ad A conviene prendere quella più distante la centesima patata. Intanto Doc che ha finito i calcoli decreta che A farà 49km ed R 50.
Realisticamente il Camillo decreta che A (con tutte le birre che si beve) viaggerà ad un metro al secondo che è un normale camminare. “Provate voi a camminare per più di 13 ore senza mai fermarvi.” Dopotutto è un quarto della velocità del record mondiale di marcia, il russo si è fatto 50km a 14,003 all’ora. Tirando le somme A vince con un distacco di 39/100 di secondo, 39cm. Ma si può fare di meglio: A invece della centesima patata recupera la novantanovesima costringendo R a percorrere 20 metri di più e vincendo con un distacco di ben 19,99m.

Non possiamo certo lasciarvi privi della soluzione del nostro affezionato Carlo, detto Il Grande. La sua analisi, dallo stile ormai familiare che lo contraddistingue, la trovate qui.

E adesso siamo pronti ai commenti. Mi raccomando, continuate a contarle, le patate: non cominciate a tirarvele…

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La distribuzione di Benford

Rudi matematici - Mar, 02/21/2012 - 07:00

Visto che è una bella giornata, tutti fuori a raccogliere numeri. Casuali ma non troppo, mi raccomando.

Cercateli dove vi pare, purché ci sia una vaga correlazione tra di loro; la lunghezza dei fiumi della vostra provincia misurata in piedi liprandi, il consumo medio di gas per accendini negli ultimi 150 anni in Portogallo, insomma, quel che vi pare.

No, non sono impazzito; se guardate bene, dovreste notare qualcosa di strano. Procediamo con calma, che a complicare c’è sempre tempo.

Dovete sapere che qualche tempo fa si stava discutendo di fisica quando (con piena ragione, anche se non è il caso di discuterne qui) Piotr ha ignorato la radice immaginaria di un’equazione. Questo mi ha ricordato una frase di Feynman (credo: non garantisco) in cui veniva fatto notare che tre premi Nobel per la Fisica dipendevano dal fatto che qualcuno non aveva trascurato alcune radici “insignificanti” in un’equazione.

Visto che il Nobel per la Matematica non esiste, cominciamo con un aneddoto.

Verso l’inizio dell’altro secolo, Simon Newcomb (Matematico e Astronomo: non un Gauss, ma passabile) stava utilizzando una tavola dei logaritmi (all’epoca Excel si chiamava così) per effettuare alcuni calcoli; notò (e scrisse la cosa nel suo diario) che le pagine più vicine all’inizio erano quasi lercie, mentre quelle verso la fine erano praticamente nuove. Come tutti gli spiriti semplici, non diede eccessiva importanza alla cosa (tant’è che non si chiama Distribuzione di Newcomb).

La cosa invece colpì nel 1938 Frank Benford (fisico: lavorava per la compagnia elettrica) il quale si pose la fatidica domanda: “perché?”. Iniziò quindi a raccogliere una mole impressionante di dati su qualunque cosa, e si mise a studiare la frequenza della prima cifra di questi numeri, indipendentemente dal fatto che fossero chilometri, torte o battute di baseball. Quello che riuscì a trovare era che la prima cifra non era distribuita uniformemente; c’era una incredibile maggioranza di 1: i 2, al loro confronto, erano poco più della metà. Non fu in grado di trovare il motivo, ma probabilmente ruppe talmente le scatole che fu deciso, se esisteva un motivo, di intitolargli la legge.

Il problema fu risolto da Roger Pinkham, nel 1961. Dal punto di vista puramente logico, il ragionamento era suppergiù questo: “Supponiamo esista sul serio la Legge di Coso (il matto sopra, Benford): allora, deve essere universale, sia che misuriate il prezzo in dollari, dracme o conchiglie della Nuova Guinea, sia che misuriate una lunghezza in centimetri, cubiti o piedi. Insomma, deve essere un’invariante di scala.”

Ora, siccome il metodo che utilizziamo per (ad esempio) misurare un qualchecosa consiste nel confrontarlo con una misura che vi hanno detto essere quella giusta, ma a me ne hanno data un’altra e mi hanno detto che era giusta quella, e tutti quanti (pur ottenendo dei risultati numericamente diversi) vediamo che ci sono un mucchio di “uno” all’inizio, dovrebbe essere possibile vedere la legge in un qualsiasi cambiamento di scala.

Giusto per fare le cose un po’ complicate, provate (su un foglio elettronico, contenti?) a fare la tavola pitagorica sino al 40 (per quaranta), conservando solo la prima cifra del risultato. Beh, siccome so che non ci proverete mai, vi passo in figura il risultato, completo dei valori ottenuti.

Carino, vero? Spero si capisca che su 1521 numeri che ho trovato, 405 (cioè più di un quarto) cominciano per uno, mentre il povero nove si limita a cominciarne un misero cinque e rotti per cento.

Rudy, vorresti venire a raccontarci che un numero che comincia per “1″ ha il trenta per cento di probabilità di uscire al superenalotto? Beh, no. I numeri che usiamo sono, se mi passate l’espressione, “casuali ma non troppo”; attraverso il fattore di scala per cui li moltiplichiamo, introduciamo una leggera correlazione. Nell’estrazione, questa correlazione non esiste. Quelli, sono casuali di brutto.

Intravedo nei vostri occhi una luce di dubbio; o non avete capito niente, o non ci credete. Prendiamola da un altro punto di vista.

Supponiamo la distribuzione di x sia invariante di scala, ossia non cambi i suoi valori quando moltiplichiamo x per una costante a. Allora, la distribuzione y=log10x resta invariata quando vi aggiungiamo una costante a.

Ora, l’unica distribuzione in [0,1) (sup escluso) che rimane invariata per l’aggiunta di una costante arbitraria è la distribuzione uniforme.

Per trovare la probabilità che d1 valga 1 dobbiamo calcolare

In generale, abbiamo

Che è esattamente quello che cercavamo e, tra l’altro, è in discreto accordo con i dati sperimentali.

Va bene, e che ci facciamo?

Beh, se vivete dalla parte sbagliata dell’Oceano Atlantico e vi arriva una lettera dell’IRS a firma Mark Nigrini, preoccupatevi: il suo lavoro è pinzare gli evasori fiscali e per farlo usa la distribuzione di Benford. Voci (incontrollate) dicono ci sia cascato anche un certo Bill Clinton… Troppi pochi 1, in quella dichiarazione dei redditi.

“Il vostro nuovo indirizzo di e-mail sarà  

” title=”mailto:cell31@alcatraz.gov\”

“>cell31 at alcatraz.gov”

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Carnevale della matematica #46

Rudi matematici - Mar, 02/14/2012 - 03:14

Diletti arrampicatori degli asintoti, esultate! Arditi esploratori delle bisettrici e delle mediane, gioite! Prodi indagatori della densità uniforme e infinita dei razionali, levate alto il vostro peana! Inarrestabili cacciatori di decimali perduti nell’inconoscibile flusso dei trascendenti, innalzate l’impudico grido grondante entusiasmo: il Quarantaseiesimo Carnevale della Matematica è fra noi!

Rallegratevi davvero, e davvero gioite sfacciati, perché non sarà per niente facile raccontarvelo con un minimo di organizzazione, metodo, criterio, metrica o misura: nell’Italia imbiancata di neve e ingessata dal ghiaccio, ogni parvenza di struttura scricchiola algida e vibra in sintonia col vento siberiano, e i meschini relatori che questo povero Carnevale ha in sorte sono deboli in organizzazione già per conto loro. Il risultato, temiamo, sarà un pasticcio, e non di quelli di alta cucina. Ma se manterrete piegati all’insù gli angoli delle vostre labbra, se la tensione superficiale dei vostri muscoli facciali si coniugherà impavida in forma di sorriso, non v’è dubbio alcuno che riuscirete a trovare, tra i coriandoli e lo sfacelo, delle perle di link matematici di sfacciata bellezza.

Ma un Carnevale non è Carnevale senza uno straccio d’introduzione. E qui già si prepara il dramma, l’Idra dalle Molte Teste, il pervicace Leviatano del Dubbio: troppe cose da dire, troppe, non sappiamo neppure come cominciare… come introdurre l’Introduzione?

Si potrebbe seguire il Metodo Classico: accarezzare lievemente il numero d’ordine del Carnevale, grattargli le orecchie come ad un micino sdraiato sulla schiena, e provare a tirargli fuori qualche miagolio caratteristico. E a sentir lui, il 46, questo dovrebbe essere un calendario molto umano, e decisamente veloce. Perché il 46 è scomposto facilmente in 2 e 23, due miseri fattori soltanto, ma di dirompente potenza biologica. Guardatevi dentro, orsù, senza timore: scavate nel vostro Io più profondo, cercate di giungere all’essenza ultima del vostro essere voi stessi: cosa trovate? Perdinci, se non vi sarete lasciati ingannare da insani meccanismi poco scientifici, dovreste trovarvi proprio loro, 2 e 23: perché sono proprio ventitré coppie di cromosomi che vi riassumono totalmente e perfettamente. C’è qualcosa di più umano di tutto questo? E non dite che in questo non c’è abbastanza matematica, mi raccomando: delle 23 coppie di cromosomi, l’ultima è quella che definisce il sesso (diamine, oggi è pure San Valentino…), e come tutti sanno, quella è coppia cromosomatica che assume forme di lettere. Ma quali lettere, per il mistero del sesso (che tale resta, nonostante i progressi dell’ecografia)? Ma ovviamente le lettere proprie della matematica, quelle che da sempre in matematica esplicitano il mistero, le incognite per eccellenza: X e Y.

E che sia veloce… c’è qualcuno tra voi che non sappia che il 46 è il numero di Valentino Rossi? (Valentino? Cavolo, oggi è anche San Valentino!) Non vi pare abbastanza veloce, come numero? Senza contare che il prode motociclista ebbe l’accortezza, alla sua centesima gara di campionato del mondo, di collezionare la sua quarantaseiesima vittoria: i suoi fan attaccarono un simbolo “%” a fianco del numero di gara, perché il 46 assoluto finiva col coincidere con un bel relativo 46%. Forse non sarà un gran cosa, dal punto di vista matematico, ma il tentativo va comunque apprezzato, no?

E se invece vi interessa la matematica più seria, allora… allora guardate: il 46 ha una pletora di proprietà interessanti che, per qualche strano caso della fantasia matematica, sono in comune a Carnevali  precedentemente ospitati proprio da questo sito. Ad esempio è un numero di Erdős–Woods, come 16, 22, 34, 36…; è il tredicesimo semiprimo (cioè un numero che è il prodotto di due numeri primi, come 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, …), è un numero ennagonale (dopo 1, 9 e 24). (A proposito: se vi sembra che i numeri appena scritti siano dei link, è proprio perché lo sono: linkano al corrispondente Carnevale della Matematica. Ricordatelo, please: i Carnevali non invecchiano mai, non per niente li teniamo sempre bene in vista nella colonna qua a destra).

Visto quante sequenze numeriche? Se vi interessano, ne trovate una gran quantità nella Enciclopedia online di sequenze di numeri, oggetto di cui non sospettavamo l’esistenza, finché Alice non l’ha estratto dalla ragnatela. Non che sia enciclopedia completa, per carità; né potrebbe esserlo, dovendo fare i conti anch’essa con l’infinito: tanto per dire, abbiamo cercato a lungo per scovarvi dentro la sequenza 5, 15, 22, 29, 36, 46,… che deve avere senza ombra di dubbio qualche senso importantissimo (oltre a quello ovvio di marcare i CdM di RM), ma non ci siamo riusciti. Se trovate un nesso voi, noi ci risparmiamo la fatica di decidere quali saranno i prossimi Carnevali da ospitare, e in cambio vi offriremo un premio strepitoso.

“Strepitoso”, in verità, è un aggettivo pericolosissimo. Lo abbiamo usato per annunciare alla Sacra Comunità dei Blog di Matematica il tema prescelto per questo Carnevale. Dichiarammo di avere del materiale “strepitoso” per un tema insolito, che avrebbe lasciato tutti a bocca aperta; e il tema prescelto era “La Matematica del Carnevale“. La verità vera era, ahimè, ben diversa. Noi di RM tendenzialmente non partecipiamo quasi mai ai Carnevali con dei post sul tema del mese, per l’ottima ragione che siamo pigri in maniera invereconda. E se siamo così pigri per scrivere un post su un tema, figuriamoci quanto lo siamo nel “decidere” un tema (che poi, per questioni deontologiche, avremmo dovuto rispettare, perfino). Quindi l’idea guida era questa: dichiariamo come tema la Matematica del Carnevale, che non si sa neppure bene cosa significhi: metteremo così in supremo imbarazzo tutti i partecipanti, e giunti al fatidico 14/2 ricorderemo a tutti che è Carnevale in almeno due sensi, e che avevamo scherzato. Ah, ah, che ridere.

E invece che è successo? E’ successo che loro, i maledetti blogger, ce l’hanno fatta lo stesso: per quanto uno si arrovelli e inventi un tema paradossale (perfino un po’ russelliano, a ben vedere), loro zac! lo svolgono. Sfacciati. Così il disordine è davvero totale, assoluto, plenario. Così è finita che oggi, 14 Febbraio (ehi, ma non è anche san Valentino?) voi che leggete vi trovate in periodo di Carnevale a leggere un Carnevale della Matematica che ha per tema la Matematica del Carnevale con dentro un sacco di post che parlano effettivamente della Matematica del Carnevale. Abbiamo detto “un sacco”? Beh, da un certo punto di vista abbiamo sbagliato: perché è Carnevale, questo è il Carnevale della Matematica, e tutti i post elencati sono di Matematica, partecipano al Carnevale della Matematica, in pieno periodo di Carnevale. Quindi tutti i post sono in tema, senza esclusione alcuna. Sfidiamo tutti i futuri anfitrioni a ripetere una simile performance.

Alla fine, per non vergognarci troppo del pasticcio, abbiamo provato a rimediare anche noi, almeno in parte. Così, abbiamo scelto di costruire delle immagini che provassero davvero – in qualche modo – a mettere insieme i concetti di Matematica e Carnevale. E abbiamo detto “costruire” perché san Google (che c’entra san Google? Non è San Valentino, oggi?), è davvero poco generoso, su quest’accoppiata. Quindi, abbiamo dovuto inventare. Per fortuna, esistono al mondo anche Carnevali più folli di quello della Matematica, e abbiamo chiesto aiuto ad uno di essi.

Ma adesso basta con l’Introduzione! E’ tempo che cominci la festa, il Carnevale vero: a questa prolusione, non resta altro che mettere un punto (a proposito, lo sapevate che il codice ASCII del “.” è proprio 46?) – Punto.

No, non sperate in vaghezze d’ordine, sia esso d’arrivo, alfabetico, di congruenza, on-topic/off-topic (e poi l’abbiamo già detto, stavolta è tutto rigorosamente on-topic); però, tanto per restare attaccati al sorriso qua sopra e per celebrare la data (vi siete accorti che è San Valentino?) usiamo una vecchia cortesia passata un po’ di moda, per una una volta. Ladies first, dicevano i gentlemen: Prima le Signore.

***

E la Signora del Carnevale della Matematica per eccellenza è lei, Annarita.  Non val quasi la pena di presentarla, la Deliziosa. Ma c’è sempre la possibilità che qualcuno incontri il 46° senza aver prima incocciato in alcuno del 45 carnevali precedenti; e a quel taluno allora basti sapere che Annarita insegna, produce, cresce una miriade di allievi e una pletora di blog, e la sua stella (anzi costellazione) risplende luminosa nella blogosfera scientifica. Questo mese ha mandato una messe di link, ma la cosa eccezionale è che in questa sua sua superproduzione non vi è nulla di eccezionale: lei è sempre così.

DIMENSIONS… Une Promenade Mathématique – Una Passeggiata Attraverso La Matematica. Dice la Deliziosa: “Non so se possa considerarsi in linea con il tema dell’edizione (diamine, certo che sì! l’abbiamo già dimostrato e ripetuto, no?), ma so solo che sono stata affascinata dall’argomento. Di che cosa si tratta? Riporto l’introduzione del post: “DIMENSIONS…une promenade mathématique (Dimensioni…una passeggiata attraverso la Matematica) è uno splendido film realizzato da Jos Leys (Grafica e animazioni), Étienne Ghys (Sceneggiatura e contenuti matematici), Aurélien Alvarez (Realizzazione e post-produzione), vincitore del “Prix D’Alembert“ 2010, premio biennale assegnato dalla antica e prestigiosa French Mathematical Society ai migliori progetti nella divulgazione della Matematica. La grafica e le qualità artistiche del lavoro, la semplicità con cui vengono introdotti i concetti geometrici, ne ha rapidamente fatto un’opera famosa in tutto il mondo. Il numero crescente di traduzioni riflette, infatti, il successo internazionale di questo film straordinario. Non chiedetemi come mi ci sono imbattuta perché non saprei dirvelo, ma ci sono arrivata di link in link, serendipicamente! Vediamo allora di che cosa tratta questa affascinante passeggiata attraverso la Matematica: nove capitoli, due ore di matematica, che coinvolgono un po’ alla volta fino alla quarta dimensione. Una vertigine matematica garantita!” - Da parte nostra, lasciateci solo aggiungere che il nostro GC, Rudy, è andato letteralmente in visibilio per i filmati. E lui va in visibilio una volta ogni due passaggi della Cometa di Halley.

Ma, ovviamente, Annarita non finisce qui. Lasciamola raccontare ancora:

Chantier De La Grande Pyramide JPH – Il Cantiere Della Grande Piramide: Si tratta del Cantiere Della Grande Piramide di Jean-Pierre Houdin (JPH), una corposa presentazione (di proprietà dell’autore), composta da 380 slide di Power Point, che illustra la teoria di Houdin riguardo alla costruzione della Grande Piramide di Cheope. E come sappiamo gli antichi Egizi furono maestri nelle arti matematiche, fisiche e ingegneristiche.
I Cinque Poliedri Platonici Animati: Una sintesi, in chiave didattica, delle caratteristiche dei cinque poliedri platonici, accompagnata da cinque animazioni che aiutano a visualizzare dinamicamente sia lo sviluppo piano che la struttura in 3D del tetraedro regolare, l’esaedro regolare, l’ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l’icosaedro regolare. Ho ottenuto le cinque animazioni con il software Poly.
Benvenuti All’Hotel Infinito: Un’animazione prodotta da The Open University e narrata dall’ attore David Mitchell, in cui seguiamo un famoso paradosso proposto dal matematico David Hilbert che dimostra le strane proprietà dell’infinito.
World Maths Day 2012: Aperte Le Registrazioni: Parte il World Maths Day 2012! E’ il momento di registrarsi per la Giornata Mondiale della Matematica, che si terrà il 7 marzo 2012. L’anno scorso, più di cinque milioni di studenti, provenienti da 218 paesi, si sono connessi per rispondere correttamente alle 428.598.214 domande di matematica del World Maths Day 2011. Le iscrizioni si chiuderanno il 5 marzo!
Ennio De Giorgi: Il Matematico Che Fa Paura Ai Potenti: si tratta di un omaggio al mio illustre conterraneo, essendo io di origini salentine doc (trapiantata in quel di Romagna), in occasione dell’8 febbraio, anniversario del suo genetliaco, come ben sapete.

Sì, è vero, lo sappiamo: come diremo più avanti, al grande Ennio abbiamo dedicato un omaggio anche noi. Ma non dubitiamo che lui gradisca di più questo, che arriva da un frutto della sua terra.

***

Non lo abbiamo mai detto prima, ma nella rivoluzione terminologica che ha investito la scuola negli ultimi tempi (e magari ci fosse stata solo quella, di rivoluzione…) a noi è dispiaciuto un po’ vedere sparire il termine “scuola elementare”. Non che l’attuale “scuola primaria” abbia qualcosa che non vada, ma sembra un po’ anonimo, quasi solo un ordinale. La parola “elementare”, invece, era profonda come un oceano: solo le menti piccole si limitavano all’errata equazione “elementare=facile” (e no, neppure Sherlock Holmes ci è mai cascato, nonostante quel che si crede). “Elementare” viene da “elementi”, e gli elementi sono la materia prima da cui discende tutto il resto. Se noi siamo qui a parlare, è perché Euclide, un bel giorno, ha deciso di organizzare i suoi Elementi.  Elementare non significa “facile”, significa “fondamentale”. E il Carnevale della Matematica è davvero più ricco, da quando sono arrivate due signore maestre  (altro termine bellissimo e devastato) come quelle che, con un riverente inchino e autentica gioia, andiamo a presentare.

Rosalba sa quali sono le cose importanti, e sa svolgere i compiti, oltre che assegnarli. Meglio ancora: sa che i compiti non servono solo a formarsi, ma anche, più semplicemente, a vivere. Questa è una sua filastrocca: Coriandoli per contare, coriandoli per giocare. Dice la nostra maestra: “… Non ho potuto resistere e ho scritto una filastrocca, immaginando tanti piccoli alunni mentre si divertono e giocano durante il Carnevale impegnati anche a contare e a fare “misurazioni quantitative”, tra mille coriandoli, colorate mascherine, travestimenti, frizzi e lazzi. Convinta come ero e sono che la matematica è ovunque, si tratta solo, anche a scuola di saperla mostrare ai bambini, fargliela amare anche attraverso le semplici parole in rima di una filastrocca.“

Elementare, no? Ma nel senso più autentico del termine.

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A fare il medesimo, splendido e difficilissimo mestiere di Rosalba è Cristina Sperlari, curatrice di un bel blog che ha un nome davvero affascinante: “Il piccolo Friedrich“. Gauss, ne siamo certi, ne sarebbe onorato. Ecco cosa ci racconta: “… il tema del Carnevale sta molto a cuore sia a me che a tutti i bambini, è stato piuttosto divertente e utile trovare un legame tra la Matematica e questa ricorrenza festosa! Ho cercato di basarmi su alcune esperienze scolastiche vissute e alla fine ne sono usciti ben due articoli, entrambi di stampo carnevalesco, entrambi dedicati alla Matematica ed entrambi riferiti a delle possibili attività artistiche correlate (Matematica-Carnevale-Arte, insomma!). Il primo dei due articoli che vi propongo è “A Carnevale…ogni combinazione vale! ”. A partire da una proposta grafica e creativa, ovvero la rappresentazione da parte dei bambini di mascherine di Carnevale classiche mescolate tra loro, è nata una curiosa situazione enigmatica da provare a risolvere insieme. Mescolando mescolando le combinazioni si moltiplicano… e allora: quanti personaggi carnevaleschi “mixati” potremmo arrivare a creare? Il secondo è sempre un articolo molto pratico e calato nella realtà dei bambini. Si intitola: “Matematica con l’origami – Costruire mascherine di Carnevale” e racconta, appunto, come poter realizzare una divertente mascherina di Carnevale per i bambini (fatta con le loro manine!), imparando anche a piegare la carta con cura e riflettendo sulle nozioni geometriche di base. L’origami è un’arte antichissima che può essere di grandissimo aiuto per lo studio della geometria a scuola, perché permette di poter agire, di poter manipolare ciò che solitamente viene soltanto lasciato all’osservazione sulla carta. Se poi ci è d’aiuto anche per mascherarci, allora tanto meglio!

Che dire? Che siamo incantati, meravigliati e sorpresi? No, non è vero. Per quanto la frase sia un ossimoro, un’apparente contraddizione in termini, noi lo sapevamo già: le nostre donne sono sempre eccezionali.

Usa i diminutivi, Dioniso, e chiama il suo blog Blogghetto. In verità, sembrerebbe un vero esercizio di understatement all’inglese, visto che non v’è nulla da diminuire, in quell’angolo di rete. Ma noi sappiamo perché: gli è che il nostro, di blog, ne alimenta più d’uno (anche Pitagora e dintorni, tanto per dire), e quindi avrà una sua gerarchia interna da rispettare. Egli, che pure ha rubato il nome ad uno dei più allegri tra gli dei, ci dice:”…ecco il mio modesto contributo purtroppo fuori tema… a meno che… invece dei ciottoli non si usino i coriandoli: Le lezioni di Eratocle: numeri quadrati“. Dioniso, non provarci nemmeno: sei ineluttabilmente in tema, come tutti.

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Conoscete già il sito Sfide Matematiche? Bravi, così si fa, non come noi, che non lo rammentavamo, e ne siamo rimasti stupiti. Paulo Ferro, che a noi sembra una valida new-entry (o meglio, sul fatto che sia valido non nutriamo dubbio veruno, su quello che si tratti di new-entry, un po’ di più… ma ve lo avevamo detto, vero, che questo è un Carnevale disordinato?), ci segnala la pagina sull’iperboloide a una falda. Noi ci limitiamo a ricordarvi che tutto quello che ha un “bol” nel nome risale, grecamente, a qualche oggetto scagliato in volo. Non vi pare che si accompagni magnificamente alla veste iconografica che abbiamo scelto?

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Non staremo qui a ricordarvi le radici matematiche della musica, le diamo per scontate. Però Leonardo Petrillo porta avanti la duplice disciplina nel suo Scienza e Musica, e ciò va oltremodo a suo merito, e questo non possiamo tacerlo. Il suo contributo lo facciamo spiegare direttamente da lui: “Il lungo articolo analizza e spiega due argomenti fondamentali dell’analisi matematica: l’integrale definito e le derivate parziali. Nel bel mezzo della trattazione si diramano concetti come l’integrazione per parti, l’integrazione per sostituzione, il metodo di esaustione di Eudosso, il teorema dell’impulso e la propagazione degli errori.” Anche se loro si propagano, voi non fate l’errore di non leggerlo.

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Se i coriandoli son fatti di carta, è bene non dimenticare un’altra forma canonica in cui la carta appare. Antonio Perrone, dall’alto della sua anglica Isola degli Algoritmi ci propone Mischiamo le carte, ovvero un post sugli algoritmi utilizzati per mischiare le carte nei giochi online: guardate che sono cosucce utili, specie se siete tanto folli da arrischiar denari contro quel baro a sette maniche che è il Web. Spendete meglio i vostri soldi: in coriandoli, magari, stelle filanti, arance, fiori, cioccolatini… (Fiori e cioccolatini? Perdinci, vuoi vedere che oggi è San Valentino?)

Ah, le vecchie conoscenze! Ah, gli aficionados, le colonne dei Carnevali! Come faremmo, senza di loro? Saremmo perduti come una goccia nel mare. Oddio, fosse una goccia nel mare di Ula Ula, però – al pari di Paperino – potremmo nutrire sempre speranze di salvezza e redenzione. Anche perché lì è facile trovarci Gianluigi Filippelli, un tipo assolutamente poco raccomandabile, ma con degli aspetti perversamente interessanti. Chi altri conoscete in grado di parlare liberamente Di trattrici e pseudosfere, “… che già dice tutto il titolo, però quello che non dice è che diventa un modo per citare gente come Perrault, Leibniz, Huygens, e l’italiano Beltrami, uno che, come Riemann, si è interessato alle geometrie non-euclidee, che ovviamente sono finite nel calderone.”? E bastasse… tanto per farci vedere che non c’è tema d’alcun tema, il nostro seziona Arlecchino, lo fa letteralmente a pezzi in I rompicapi di Alice: Quella sagoma di Arlecchino, dove tira in ballo un altro dei tanti paradossi di Carroll e pure quello di Banach-Tarski. La “nostra” Alice continua a chiedersi se questa sua rubrica di Gianluigi sia un omaggio o uno sberleffo…

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E va bene, lo sapete già. “Indissolubilità” è parola più chimica che matematica, ma se si prendono in considerazione il Carnevale della Matematica e Maurizio Codogno (il grande .mau.), pochi sostantivi riescono a rendere meglio il grado di relazione che lega i due soggetti. Di fronte alla Magna Auctoritas Patrum del Dotto noi, umili, freniamo la lingua, e Gli cediamo il verbo:

“Sulle Notiziole ho un po’ di scherzi di carnevale, nel senso di problemi della domenica col trucco: Fisica dei liquidi (moti browniani e no) e Supermarket giovedì (chi riconosce la citazione del titolo?). Altri problemi più seri sono Esperimento scientifico (poi ci si chiede perché hanno inventato i cronometri…) e Divisibilità (problema combinatorio). Ho poi le recensioni di Giochi matematici (problemi matematici di varie difficoltà) e È la matematica, bellezza (pop science).”

Ma, giacché il Nostro Nume è probabilmente anche più che Trino, ma sicuramente almeno Duplice, non finisce qui:

“Sul Post due “parole matematiche”: Cifra (sembra incredibile, ma cifra e zero derivano dalla stessa parola. E cifra, comunque, ha una bella storia…) e Monotono (quando si inventano parole dando loro una patina di classicità, e gli accenti contano, eccome). E poi altri due post: Cinque bastano (la congettura di Goldbach resiste da quasi tre secoli ai tentativi di dimostrazione. Ci è voluta una Fields Medal per ottenere un nuovo risultato dopo ottant’anni) e La magia delle soluzioni (spesso la soluzione di un problema matematico sembra uscire come per magia da un cappello. Ma in fin dei conti il bello della matematica è che un problema può magicamente essere visto da un altro punto di vista!)”

Potrebbe bastare. Ma no, invece: il Dotto Codogno, qual benigno scorpione, ha puranco il colpo di coda:”Elmar o Enrico? (Buona o brutta che sia, in UK la matematica arriva sui media. Da noi?)” per le Notiziole, mentre per il Post: “Una dimostrazione errata è meglio che nessuna dimostrazione (certo, in matematica una dimostrazione errata di per sé non serve a nulla. Però può essere un utile punto di partenza). – Maurizio, potremmo mai non crederti? Il punto di partenza del Carnevale sei stato tu…

Tremate. Uno spettro si aggira per l’Europa. Anzi, due. Eh sì, perché i Carnevali sono abitati da pericolosissimi calpestatori di tasti. Solitamente non si mettono in mostra nel mondo reale, scelgono professioni ragionevolmente anonime, certo intellettuali, ma tali da non attirare l’attenzione. Non li vedrete ritirare Premi Nobel per la Letteratura a Stoccolma, ma se appena grattate via lo smalto che copre la facciata, scoprite che scrivono libri (magari con la stessa casa editrice, evidentemente connivente); non si paleseranno come baroni universitari per non esporsi, ma potrebbero benissimo trovare perfetta, come centrale del loro terrorismo intellettuale, una cattedra di una scuola superiore. Potreste incontrarli circondati da molti gatti, o da molti figli, quasi certamente da molti studenti (povere anime plagiate ormai senza rimedio), ma comunque non riconoscerli. Almeno finché non arrotano i loro polpastrelli su un tappeto di tasti neri e silenziosi. Uno di questi loschi figuri potrebbe, ad esempio, farsi chiamare Zar. O anche Prooof, va’ a sapere. Certe volte, si firma spudoratamente come Roberto Zanasi, ma si tratta evidentemente d’un nome falso. E potrebbe imbambolarti con la tecnica dialogica d’un Gorgia da Lentini – o meglio ancora, d’un Cobra dagli Occhiali. Non sentite come sibilano le sue “esse”? Ascoltate:

“Il tema scelto, con molto sadismo, per questo mese, mi ha portato a parlare del calendario. Dopo aver analizzato, nella prima parte, vari argomenti improbabili come “coni gelato e coni matematici, analogie e differenze“, ho deciso di studiare l’evoluzione del calcolo della data della Pasqua, partendo dal concilio di Nicea e arrivando alla bolla Inter Gravissimas che ha rivoluzionato tutto. In un ultimo post dal titolo greco ho analizzato l’algoritmo ufficiale per il calcolo della suddetta data. Andando invece fuori tema, ecco il testo di una verifica che ha avuto molto successo in ambiente scolastico (più che altro durante la lettura, in effetti, un po’ meno durante lo svolgimento). E, per concludere la felice unione tra matematica, calendario e carnevale, ecco una torta di comπleanno.”

Visto? Sibila, attrae con lusinghe di dolci, sminuisce gli impatti, così uno si avventura, misero, nei meandri dei dialoghi che manco Platone avrebbe potuto disegnare più perversamente: se i Numeri d’Oro vi spaventano, se l’Epatta vi sembra un pareggio, statene lontanissimi, datemi retta…

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E l’altro, poi? Quasi peggio, se non fosse che peggio non è possibile. Indossa una maschera (di Carnevale? No, macché…) fatta d’occhiali e capelli, modula linguaggi astrusi e storie impossibili (non a caso lui, sagace e crudele, le tira sempre fuori dalla Realtà, che è il solo luogo dove le Storie Impossibili si trovano a bizzeffe), annoda rime e derivate, lega stretti angoli di poesia e rock progressivo, e uno si ritrova (oh, Wish You Were Here!) perso e disperso come in una suite dei Jethro Tull. Dice di chiamarsi Popinga, ma non credetegli: ha due nomi (Marco e Fulvio) e tre iniziali (MFB), e questo già appalesa la sua – evidentissima – origine non umana. Sentitelo parlare, sentite il ritmo ipnotizzatore che gli esce così, senza ricerca, come un fluido rosa, apparantemente senza scopo, in una mail che avrebbe potuto restare del tutto ordinaria:

“C’era qualcosa in me che non andava, mi dicevo. There’s someone in my head, but it’s not me, e non riuscivo a venirne a capo. Neanche tornato a casa, in queste settimane di neve e gelo, più non riuscivo a godere il caldo conforto del divano e lontano mi appariva l’ordinario pensiero del caminetto acceso. Home, home again, I like to be here when I can. When I come home cold and tired, it’s good to warm my bones beside the fire. Che cosa succede? Che cosa mi rende così inquieto e insoddisfatto? And who knows which is which and who is who? Finalmente, improvvisa e liberatoria, è arrivata la risposta: oggi un allievo mi ha chiesto quando sarebbe stato Carnevale. Carnevale! Ecco che cosa mi tormentava! Non avevo ancora mandato i miei contributi per il Carnevale di Febbraio, quello dedicato alla matematica del Carnevale! Sto proprio invecchiando! Every year is getting shorter never seem to find the time.  Plans that either come to naught or half a page of scribbled lines! Mi metto alla tastiera per porre rimedio alla dimenticanza. Eccoli, i miei contributi per il numero 46.”

E arrivano, infatti: “Arlecchino e il problema dei quattro colori – Il teorema dei quattro colori fu congetturato da Francis Guthrie nel 1852. Per diventare teorema, la congettura ha dovuto attendere più di un secolo, fino a quando l’avvento dei computer ha consentito il trattamento in tempi ragionevoli di ingenti quantità di dati. In questo lungo periodo i tentativi che si sono susseguiti sono tutti falliti, ma hanno consentito lo sviluppo di nuovi concetti topologici e della teoria dei grafi. La dimostrazione ottenuta nel 1976 da Kenneth Appel e Wolfgang Haken fu la prima in cui l’ausilio del computer fu indispensabile. Proposta di tassellatura regolare del piano con conversazione infinita - Una conversazione surreale nata negli anni ’60 costituisce una stringa potenzialmente infinita. Assegnando a ogni termine un tassello di forma quadrata, è possibile pavimentare il piano in modo che sia leggibile dall’alto verso il basso e da sinistra a destra. Giocare con i polimini - I polimini sono una ricca fonte di problemi, rompicapi e giochi, in gran parte basati sulla possibilità di tassellare figure assegnate o l’intero piano. La storia di questi passatempi logico-matematici attraversa tutta la storia del Novecento, e coinvolge figure straordinarie di esperti di matematica ricreativa e creatori di rompicapi, dall’inglese Henry Dudeney  all’americano Martin Gardner, per arrivare all’indimenticabile Tetris.

Datemi retta, saltate questo blocco di link, saltate questi due. Sospettiamo siano le due metà malvagie d’una dea inizialmente bella e gentile, tal Zarpopinga, Regina di Helzapopping, rinchiusa da un demone malvagio in un’isba fortificata della Siberia zarista. Per colpa d’una stregoneria anti-additiva, le due metà sono tanto crudeli e pericolose quanto l’intero era affascinante e pieno di grazia. Statene lontani, statene lontani… (Anche se… una principessa così, non vi fa venire in mente San Valentino?)

Per lo meno, loro lo dichiarano già nel nome. Una specie di patente d’onestà, no? Se si uniscono “mad” e “maths”, condendoli con una “D” eufonica (ma sarà solo tale?) e un punto esclamativo, eccoli che arrivano, belli e pimpanti come al solito. Certo, sono loro, i Maddmaths! Forse andrebbero scritti tutto in maiuscolo, ma non vorremmo che si montassero la testa: anche perchè, già così è difficile star loro dietro, se poi gli si dà ancora un po’ di corda, questi finiscono con l’organizzare seduta stante una LAM (Lotta Armata Matematica). Guardate, guardate che combinano, mentre voi dormite sotto coltri e trapunte:

““Tieni la mente aperta.” Alessio Figalli intervista Luis Caffarelli - Luis Caffarelli si occupa di equazioni alle derivate parziale ed è considerato uno dei più importanti e profondi matematici a livello mondiale. Nei giorni scorsi gli è stato assegnato il premio Wolf, uno dei massimi riconoscimenti internazionali, dall’omonima fondazione israeliana. Alessio Figalli lo ha intervistato in video in esclusiva per Maddmaths!. Giuseppe (Rosario) Mingione: il lato oscuro dell’analisi - Giuseppe Mingione (Rosario per gli amici) è un matematico di origini accademiche napoletane nato nel 1972. Da oltre 15 anni abita e lavora a Parma ed è professore ordinario dal 2005. Vincitore di un European Research Council Award nel 2007, nella sua carriera ha ricevuto numerosi riconoscimenti, tra cui la “Stampacchia Medal” nel 2006 e, nel 2011, il prestigioso “Premio Caccioppoli”. L’alfabeto: F come Frontiera Libera - Sono il solito distratto ed urto accidentalmente un bicchiere di vino sulla tovaglia: fin dove si espanderà la macchia? Il suo bordo (la sua ‘frontiera’) è ben libero di muoversi… - Fantamatematica: Eulero, il calcolatore umano - Eulero è noto per essere tra i più prolifici matematici di tutti i tempi e ha fornito contributi storicamente cruciali in svariate aree: analisi infinitesimale, funzioni speciali, meccanica razionale, teoria dei numeri, teoria dei grafi, astronomia leggera, frazioni bulgare, pantaloni di lava.”

Ecco. Uno finisce di scrivere “frazioni bulgare” e “pantaloni di lava” e si convince definitivamente che la parte Mad ha preso decisamente il sopravvento sulla parte Math. Prova a dimenticare tutto, a passare oltre, e cosa succede? Ma naturalmente che viene colpito dalla NdTI, Nemesi del Tema Impossibile, che evidentemente non era impossibile manco per niente. Ecco qua, sul filo di lana, un loro legame palese ed evidente – in video, perfino – tra Carnevale e Scienza: Cervelli in Fuga.

Ci sarebbe poi da chiedersi se tutta quell’onestà dichiarativa sia autentica: infatti, l’istinto di prolificazione è attivo e spasmodico anche tra i Maddmaths!: uno di loro, Roberto Natalini, non contento di quanto produce facendo parte della suddetta squadra, tratta e gestisce anche Dueallamenouno (vorrà mica dire con questo che si dimezzato per duplicarsi?), e anche da lì giungono sue nuove: “Infinito, non finito (Appunti frammentari sulla necessità del concetto di infinito: discreto e continuo, finito e infinito, sono gli opposti poli del nostro modo di conoscere il mondo esterno. Spesso capaci di invertire la loro posizione, e a volte di fondersi l’uno nell’altro. Vorremmo che tutto fosse finito e sotto il nostro diretto controllo). I nemici dei miei nemici (Dove si parla di una conferenza di Steven Strogaz, di amicizia e inimicizia, amore e odio e altri legami che uniscono/dividono gli individui e le comunità, e di come esista una matematica che riesca a parlare di queste cose.)“

Tzè. Incontentabile, il Natalini.

Chissà, invece, se Paolo Alessandrini ha preso il suo nome ispirato da George Ellery Hale o da Italo Calvino. Certo è che, in entrambi i casi, la sua caratteristica principale dovrebbe essere l’osservazione, se ha deciso di chiamare il suo blog Mr. Palomar. E anche lui, zitto zitto, ha fatto i conti per scoprire che, per festeggiare degnamente il Carnevale, ci vuole almeno la matematica necessaria a scoprire quando questo inizia. Anzi no, quando finisce, tramite la sua Formula del Carnevale, perché quando comincia lo sanno tutti, vero? (No, ma che dici! San Valentino non c’entra niente e sì, lo so benissimo che è proprio oggi!)

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E se a Carnevale ogni scherzo vale, non c’è dubbio che valgano ancora di più le coincidenze. Ad esempio, Marcello Seri, in barba al suo cognome, è persona che sa divertirsi, e ama gli scherzi.  Dal suo Marcellosblog ci invia infatti un paio di link che ben si bilanciano tra serietà e sorriso: “Weihnachtsübungen parte terza (questo potrebbe essere una variante frattale del vestito di Arlecchino se lo colorassimo) e La Statistica (Trilussa)“.

Confessiamo però che a colpirci di più è stata questa sua ultima affermazione linkata: “E anche se è in tema natalizio e non ne conosco l’autore originale vorrei segnalare anche questo: Esiste davvero Babbo Natale?”  - La domanda ci imbarazza: che il Marcello stia provando a tirarci un tiro birbone? Già, perché neppure noi conosciamo l’autore originale, ma la Battaglia In Difesa Di Babbo Natale è stata una delle prime che abbiamo combattuto, e l’abbiamo fatto addirittura in due riprese. Starà, il sagace Marcello, stuzzicando la nostra verve polemica? O più banalmente, ci ha solo tirato uno scherzo di Carnevale? Questa ipotesi è molto probabile… del resto, farci parlare di Babbo Natale a Febbraio è già di per sè una metafora sui nostri proverbiali ritardi…

Non ne potete più, vero?

Beh, vi capiamo. Sommersi da link e da coriandoli, da sciocchezze e disordine, la voglia di smettere di leggere vi avrà preso almeno settantasette volte, e sospettiamo che vi abbiate ceduto ben prima della settima. Ma tornate a sorridere, stavolta per davvero. Manchiamo solo noi, indegni ospiti e anfitrioni del CdM numero 46, e ce la caveremo in fretta. Vi diciamo solo che abbiamo scritto una serie di problemi di logica; un post fatto apposta per barare e far finta di rispettare Il Tema; Amazzoni, un gioco; il solito post di soluzione del problema del mese scorso su Le Scienze, e il compleanno di Ennio de Giorgi.  E come sempre, anche questo mese è (miracolosamente) uscito il numero 157 di RM, quello del nostro tredicesimo compleanno. E non dite che non è in tema: Rudi Mathematici è probabilmente l’unica rivista al mondo che abbia un “46” nel titolo d’una rubrica fissa.

E adesso basta davvero.

Vogliamo solo rassicurare i neofiti: guardate che non tutti i Carnevali sono disastrati come questo. Non tirate conclusioni affrettate. Siamo sicuri che DropSea, del grande e indefettibile Gianluigi Filippelli, amministratore nominato per il Carnevale numero 47, saprà farvi vedere come si conduce un Carnevale vero. Il suo, poi, sarà addirittura un autentico Carnevale 3/14, il Carnevale per eccellenza. Non perdetelo.

(E perdonateci).

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Le immagini di quest’articolo, come in molti avranno capito, sono tutte relative allo Storico Carnevale di Ivrea, e segnatamente quasi tutte hanno per soggetto quella devastante follia che va sotto il nome di “Battaglia delle Arance“. Il feroce rito marziale si ripete ogni anno negli ultimi tre giorni di Carnevale, da domenica al Martedì Grasso. Tutte le foto (tranne una) sono state rubacchiate in rete, e ci auguriamo che i soggetti rappresentati e gli autori delle foto (che non siamo in grado di citare, ma che ringraziamo comunque sentitamente) non ce ne vogliano.

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Categorie: Le Scienze - Matematica

8 Febbraio 1928 – Buon compleanno, Ennio!

Rudi matematici - Mer, 02/08/2012 - 07:00

«Tutti gli esseri umani nascono liberi
ed eguali in dignità e diritti.
Essi sono dotati di ragione e di coscienza
e devono agire gli uni verso gli altri
in spirito di fratellanza.»

(Dichiarazione Universale dei Diritti dell’Uomo,
Articolo Uno)

La camicia non è insolita, tutt’altro. Celeste pallido, e il colore tenue non è dato tanto dal colore poco carico quanto dall’alternarsi ordinato dei quadratini bianchi e colorati, come in quadro di Seurat o dei divisionisti italiani. Camicia che appartiene all’insieme delle camicie classiche e poco pretenziose, da supermercato o mercato rionale, sempre rimaste uguali dagli anni Sessanta fino ad oggi. O almeno fino al Luglio del 1996, che è quando quell’azzurro pallido è rimasto impressionato sul film della telecamera. Più del pallido pied-de-poule, comunque, rimane impresso l’ultimo bottone di quella camicia: è ordinatamente chiuso, al pari di tutti gli altri, cosa insolita quando la camicia è orfana della giacca e soprattutto della cravatta. Quel bottone, quando è ben chiuso, rimane di solito nascosto dal nodo, al sicuro nell’asola: viceversa si palesa slacciato, aperto, con un’aria un po’ smargiassa e un po’ libertaria quando la cravatta non c’è. Vederlo invece così, naturalmente chiuso senza l’alibi del colorato pezzo di stoffa che chiude i colli maschili, è appunto insolito, quasi un po’ fuori tempo, ormai.

Del resto, sembra fuori tempo anche il volto che parla: non sorride spesso, almeno all’inizio dell’intervista, ma quando lo fa è un sorriso davvero bonario, quasi complice, quello che rivolge all’obiettivo. Lo si vede sorridere e si sospetta che il vecchio proprietario di quel sorriso sia, in fondo, un gran timido; però è un piacere sentirlo parlare, anzi sentirlo raccontare, e osservarlo nei pochi gesti che fa, muovendo di tanto in tanto i pochi oggetti che tiene sul suo tavolo pisano. Soprattutto quel sottile plico marrone chiaro, ancora chiuso nel cellophane, che ogni tanto agita e muove sulla scrivania, quasi fosse lì che si annida il filo del discorso: o forse solo perché sente la mancanza della lavagna. Non dev’essere facile parlare ad una telecamera invece che ad una classe di studenti; non dev’essere facile restarsene seduto, a mani vuote di gesso, quando si parla a lungo di matematica.

Se a vederlo colpiscono il bottone e il sorriso, a sentirlo colpisce lo spessore della sua zeta. È una zeta sempre maiuscola, possente, dura. Anche sbagliata in molti fonemi, a dar retta alla fonologia italiana, che vuole le zeta ora dolci ora aspre, ora sorde ora sonore. Anche se l’ortografia non distingue tra la zeta di razza (umana) e la zeta di razza (pesce), le due razze sono diverse, perché diversi sono i suoni della duplice consonante. Un vanaglorioso ma innocente orgoglio fonetico serpeggia nelle scuole di dizione del centro Italia, che sostengono che solo in quelle regioni la zeta sia correttamente pronunciata, a meno di specifica correzione delle parlate locali: il Settentrione rende la zeta già dolce di “calza” troppo morbida, pronta a decadere in una specie di esse, quasi degradando la calza a calsa; dall’altro fronte, la zeta meridionale indurisce troppo l’indumento, vestendolo con la consonante aspra e sorda, e rendendolo così figurativamente inamidato alla pronuncia. E allora le zeta che il vecchio professore pronuncia sorridendo dallo schermo lo collocano subito molto a sud nello stivale, pur senza fargli attraversare lo stretto di Messina. Un sud profondo e, nonostante l’apparente contraddizione, molto orientale.

Quanto sono distanti politica e matematica?

Tantissimo, verrebbe da rispondere di getto, senza pensarci: poche cose sembrano più irrazionali della politica, e per contro non c’è forse nulla, al mondo, di più razionale della matematica. Ma a un’analisi più approfondita le certezze sembrano subito un po’ meno granitiche: in fondo, il pitagorismo è stato una scuola filosofica importante, e ha avuto anche qualche riflesso nella gestione di qualche città-stato dell’antichità. Platone era certo un politico, oltre che filosofo, e certo applicava metodi in un certo senso “matematici” nel disegno della sua repubblica ideale. E poi, in generale, dietro e dentro la parola “politica” si cela un significato più nobile e profondo di quello che è veicolato dai giornali e telegiornali dei nostri tempi: politica è organizzazione e regolamentazione dei rapporti sociali, e quindi, in prima battuta, una disciplina umana di fondamentale importanza. È politica scegliere se vivere in una monarchia o repubblica, è politica preferire uno stato democratico ad uno assolutista; è politica immaginare un’organizzazione sociale che tenda a salvaguardare il reciproco rispetto piuttosto che stratificare la popolazione per classi, dai paria alla nobiltà. È politica decidere chi deve aver diritto alla vita, all’istruzione, alla salute, al lavoro, alla dignità; e se la risposta che riteniamo naturale all’ultimo quesito è uno scontato “tutti”, significa solo che la politica che risiede nelle nostre teste non è più quella di qualche tempo fa: in altri tempi e in altri luoghi, neanche troppo lontani, quella risposta non era affatto scontata. Anzi.

Piuttosto curiosamente, c’è una teoria che lega in maniera sorprendente la matematica alla politica: è una teoria affascinante, e tutt’altro che assurda, non ci ricordiamo chi l’abbia avanzata per primo, ed è un peccato, perché è certamente meritevole di nota. Noi l’abbiamo sentita citare da Lucio Russo, matematico, filosofo e storico della matematica, durante un ciclo di trasmissioni radiofoniche (Alle Otto della Sera, ciclo “Le Radici della Scienza”, andata in onda su RadioDue: la trasmissione “Alle Otto della Sera” non esiste più, e per quel poco che conta il nostro parere, siamo furibondi con la Rai per questo). Russo con ogni probabilità ha citato l’autore della teoria, ma a noi è sfuggito, o ce lo siamo colpevolmente dimenticato: sono comunque assai interessanti, anche se talvolta controverse, le stesse teorie di Russo, ben riportate nella sua opera principale, “La rivoluzione dimenticata”, in cui parla dei sorprendenti livelli raggiunti dalla scienza nel periodo ellenistico (Feltrinelli 1996, ISBN 9788807816444).

Il punto essenziale della teoria è che la primitiva matematica occidentale, quella greca per intenderci, ha una caratteristica abbastanza peculiare rispetto alle altre “matematiche antiche”, che pure hanno in qualche caso raggiunto risultati significativi: questa peculiarità è il concetto di dimostrazione. In genere, quando le altre culture scoprivano qualche proprietà interessante in aritmetica o in geometria la registravano, dopo averla verificata in più casi, ma senza preoccuparsi più di tanto di ottenere una dimostrazione rigorosa. Agli occhi di un matematico (ma a dire il vero non solo ai veri matematici moderni, ma anche ai comuni mortali frequentatori di scuole o lettori di prestigiose riviste di matematica giocosa), l’idea di sottoscrivere un risultato matematico solo perché “vero in molti casi” suscita orripilazione e raccapriccio; ma questo è frutto proprio della nostra formazione alla greca. Del resto, qual è il vero ruolo della dimostrazione? Perché associamo così strettamente i concetti di verità e di dimostrazione? Soprattutto, perché questo principio non era altrettanto diffuso presso le altre culture antiche? Una possibile risposta è che la maggior parte delle società antiche si basava sul principio di autorità: quel che diceva il sovrano non si discuteva, e il principio informatore si propagava felicemente intatto lungo tutta la piramide gerarchica sociale. Il popolo non discuteva quel che dicevano i nobili, gli schiavi non mettevano in discussione quel che dicevano i padroni, e nessuno osava mettere in dubbio l’interpretazione che i sacerdoti davano del volere degli dei. In una tale situazione, è del tutto naturale delegare agli “esperti”, di qualunque tipo essi fossero, il concetto di verità, senza bisogno di altri tipi di convincimento. Così, se il numerologo di corte sostiene che una circonferenza vale esattamente tre volte il diametro del cerchio, a che vale metter in dubbio l’affermazione?

Nell’antica Grecia, però, i rapporti sociali non sono sempre così gerarchici e autoritari: in molte città, Atene su tutte, il governo dello stato è affidato all’assemblea dei cittadini liberi, e le cariche amministrative sono regolamentate da elezioni. Questa situazione particolare azzera il principio di autorità, ed esalta la dialettica: i candidati che si propongono all’assemblea si confrontano e contrappongono portando argomenti, ed esponendoli a tutti i loro pari. Questi non sono tenuti a dar credito ai candidati – e di conseguenza non sono tenuti a dar loro il voto – a meno che non siano davvero convinti della sincerità e validità delle loro affermazioni. È la nascita della dialettica, dell’esposizione retorica, della logica espositiva: le argomentazioni devono essere convincenti, condivise, comprensibili a chiunque possegga orecchie e intelletto sufficienti ad intendere il greco e le regole del discorso. In quest’ambiente, non c’è dichiarazione che possa essere accettata gratuitamente: è la necessità logica che rende l’orazione convincente, e su questa falsariga potrebbe nascere il concetto di dimostrazione matematica. Non è sufficiente vedere che esistono moltissimi numeri primi, non basta che, avendo la giusta pazienza, se ne possano scoprire sempre di nuovi, per poter affermare che sono infiniti: ci vuole un’argomentazione di natura diversa, inattaccabile e logica, che mostri l’inevitabilità della loro infinità, altrimenti il cittadino greco, restio all’autorità, tenderà a non credere. Per questo Euclide non si limita ad enumerare una pletora di primi, ma inventa la sua splendida dimostrazione per assurdo. Vera o meno che sia, la teoria affascina, perché lega a doppio filo matematica e democrazia, in maniera del tutto inaspettata: anzi, di solito si fa presente proprio il contrario, ovvero che la verità matematica non può certo essere stabilita per acclamazione o a maggioranza: se anche tutti gli uomini votassero a favore dell’esattezza di 1+1=3, quest’unanimità non renderebbe l’espressione meno sbagliata [naturalmente, se si mantengono validi gli usuali assiomi fondativi dell’aritmetica tradizionale: non è certo impossibile immaginare sistemi, matematici o meno, in cui 1+1=3 abbia una sua propria autentica validità, senza dover chiamare necessariamente in causa il simultaneo impazzire di tutta la razza umana (e anche senza dover citare il solito malizioso esempio della riproduzione sessuata)]. Sembra invece che la matrice democratica della matematica, se davvero esiste, sia ben più profonda e meno ovvia: non si potrà decidere a maggioranza sulla verità di un’equazione, ma la forza della matematica di mostrarsi come portatrice di verità potrebbe provenire proprio dalla necessità di considerare gli uomini tutti uguali, tutti con pari dignità giudicante.

Guarda caso, dietro il colletto chiuso della camicia, dietro le dure zeta salentine e dietro il sorriso affabile da sessantottenne, sembrano proprio i fondamenti della matematica, la dignità umana e la ricerca della sapienza i punti centrali dell’interesse dell’uomo che parla dallo schermo televisivo. È stato Michele Emmer a portare la telecamera in quello studio della Scuola Normale di Pisa: grazie alla sua delicatezza di matematico e alla sua abilità di regista, Emmer riesce a far scomparire dal campo visivo tutti gli strumenti dell’intervista: non si vedono luci né cavi, non si immagina la creazione d’un set né alcuna azione preparatoria, logistica. Ci si figura quasi solo la deposizione della camera sulla scrivania, a fare da testimone muto, e l’invito parimenti non detto a raccontare. Certo non sarà andata così: ci vuole molta abilità per far scomparire tutto ciò che deve scomparire, per mettere in risalto ciò deve rimanere, solo, al centro della scena. Con riservatezza quasi eccessiva, il matematico-regista decide non solo di non mostrare altro che l’intervistato, ma perfino di far sparire anche la voce dell’intervistatore. Non si sentono pronunciare domande, prima delle risposte; nella sublimazione dell’invisibilità, spariscono perfino i punti interrogativi, da sempre protagonisti assoluti di ogni normale inchiesta. Ma questa non è un’inchiesta e non è in fondo neanche un’intervista, brevi fotogrammi introdurranno sullo schermo i temi affrontati: matematica e realtà, matematica e creatività, e didattica, e computer, e linguaggio, intuizione, ambiente; il tutto senza rubare spazio e suoni al grande vecchio seduto di fronte all’obiettivo. Lui, camicia allacciata fino all’ultimo bottone, sorriso timido e scrivania sgombra, parla di sé, e di matematica.

Ennio De Giorgi nacque a Lecce l’8 Febbraio 1928: fosse ancora vivo, celebrerebbe oggi il suo ottantaquattresimo compleanno, il che ce lo rende davvero vicino e contemporaneo. Il padre, insegnante di lettere, morì che Ennio aveva appena due anni. Frequentò il liceo classico a Lecce, poi si iscrisse ad Ingegneria a Roma. Dopo il primo anno passò a Matematica, e si laureò con quel gran nume della matematica italiana che era in quegli anni Mauro Picone; a partire dal 1951, a ventitré anni, iniziò la sua carriera accademica come suo assistente. Alla corte di Picone stavano quasi tutti i maggiori analisti italiani dell’epoca; tra questi brillava la stella di Caccioppoli, che proprio in quei tempi sviluppava e teneva seminari sulla sua teoria della misura. De Giorgi, influenzato da questi studi, ottenne i primi risultati di rilievo nella teoria dei perimetri: da qui riuscì a dimostrare, nel 1958, che tra tutti gli insiemi di perimetro assegnato l’ipersfera ha il massimo volume n-dimensionale. Ma già tre anni prima aveva portato un controesempio all’unicità di soluzioni regolari del problema di Cauchy dell’equazione differenziale alle derivate parziali con coefficienti regolari, pubblicazione che lo aveva reso noto a livello internazionale.

Tra il 1955 e il 1957, Ennio De Giorgi dimostra la continuità hölderliana delle soluzioni delle equazioni ellittiche con coefficienti misurabili e limitati anche in presenza di discontinuità dei coefficienti. In buona sostanza, questo significa risolvere definitivamente il XIX Problema di Hilbert, quello che si può riassumere nella domanda “le soluzioni delle lagrangiane sono sempre analitiche?”, che era in agenda alla comunità matematica mondiale dal 1900, e la cui soluzione era stata solo parziale.

Risultati di valore assoluto, definitivo, ottenuti ben prima dei trent’anni di età: basterebbero da soli a consegnarlo alla storia della matematica. Ma dal punto di vista della produzione scientifica, Ennio De Giorgi ha ancora molto da dire, e il suo valore non si limita alla produzione davvero eccezionale degli anni Cinquanta: studia le isosuperfici di area minima, deduce un’estensione alla dimensione tre del teorema di Bernstein: a partire da questo risultato James Simons estende le conclusioni alle dimensioni sette ed otto: di nuovo De Giorgi, insieme a Bombieri, mostrerà poi che la soluzione di Simons è anche minima. Negli anni Settanta, poi, Ennio De Giorgi è tra i fondatori della G-Convergenza.

Per capire l’importanza del lavoro di De Giorgi, forse è più semplice riassumere i premi e le onorificenze che ha ricevuto, e quelle che lo hanno sfiorato. Sfiorato davvero: il suo teorema più importante è identico, o quasi, a quello che ha reso famoso John Nash, l’eroe di “A Beautiful Mind” premiato con il Nobel nel 1994 per i suoi studi sugli equilibri dei giochi non cooperativi; Enrico Bombieri, che in molti lavori ha collaborato con De Giorgi, è tuttora l’unico italiano ad essere stato premiato con la Medaglia Fields. Ma non sono da meno i premi che De Giorgi ha vinto in prima persona: innanzitutto il prestigiosissimo Premio Wolf, nel 1990; nessun altro matematico italiano è nell’albo d’oro. Poi, il Premio Caccioppoli dell’Unione Matematica Italiana, nel 1960; o il premio del Presidente della Repubblica dell’Accademia dei Lincei; o la Laurea Honoris Causa in Matematica della Sorbona di Parigi, l’iscrizione alle Accademie delle Scienze di Francia, degli Stati Uniti e dell’Accademia Pontificia. O la Laurea Honoris Causa in Filosofia che gli tributò la sua Lecce, che lo rendeva particolarmente orgoglioso.

Di tutto questo, seduto alla scrivania del suo studio alla Normale di Pisa, dove per quarant’anni ha tenuto la cattedra di Analisi Matematica, Algebrica e Infinitesimale, Ennio De Giorgi non parla. Inquadrato dalla telecamera di Emmer parla pochissimo di sé, e molto di matematica. E anche di altro.

“È un peccato che matematici, fisici e ingegneri siano adesso divisi, fin dal primo anno d’università” – dice il vecchio professore. Forse pensa a quando iniziò lui, al suo passaggio da ingegneria a matematica, o più probabilmente, alla necessità di avere amicizie da frequentare e coltivare tra persone che hanno interessi simili anche se non perfettamente coincidenti. C’è sempre tempo per prendere specializzazioni diverse, più tardi. La necessità di condividere interessi e amicizia torna spesso, nelle sue parole: arriva perfino a dire che “risolvere un problema matematico senza avere un amico con cui discuterne significa perderne gran parte del valore”. Le prime osservazioni dovrebbero essere in merito al rapporto tra matematica e realtà, ma il professore leccese, curiosamente, racconta di questa relazione in maniera quanto mai originale, trasversale. È quasi scontato aspettarsi il solito panegirico sulla natura descrivibile in termini matematici, o sulle mille applicazioni della matematica alle scienze fisiche, invece Ennio vola molto più in alto. Cita il biblico Libro dei Proverbi, dicendo che “la Sapienza ama farsi trovare dagli uomini che la amano”, e non c’è dubbio che per lui la ricerca matematica è anche, costantemente, parte della ricerca più ampia della sapienza. E sottolinea come sia in realtà proprio l’immaginazione l’arma essenziale per scoprire i segreti della natura, e in questo la matematica è favorita rispetto alle altre discipline perché consente, a differenza delle altre, di esercitare l’immaginazione sia nelle cose visibili sia in quelle invisibili. Questo non toglie che la stupefacente capacità della matematica di descrivere la natura sia, appunto, molto sorprendente: ma forse è ancora più stupefacente che “il teorema di Pitagora resti valido anche negli spazi ad infinite dimensioni di Hilbert”.

Parlando di “realtà” De Giorgi mostra che pochi termini sono più soggettivi, nonostante l’apparente iper-oggettività della parola. L’immagine più colorita che riesce a dare di “matematica e realtà” è una fotografia, quasi un’idea platonica di convivialità: tutti insieme, l’intera comunità accademica o più generalmente matematica, seduti virtualmente allo stesso tavolo (scrivania o tavola imbandita?) “con la libertà di potere immaginare e lavorare autonomamente sulle idee che ognuno preferisce”. Lega le immagini della realtà a quelle dell’ambiente matematico, e il tema non cambia: si dichiara grato a Picone che, anche se professore d’altri tempi, con tutta la carica accademica che allora era richiesta ad un barone universitario, si mostrava assai liberale in ambito scientifico, e riconosceva la piena uguaglianza di opinioni di fronte alla scienza, dal più famoso degli studiosi all’ultimo degli studenti. Di nuovo un principio etico, sociale, politico, che entra nel discorso che dovrebbe essere solo di matematica: discorso che, se si accettano le dovute premesse sul ruolo della matematica come parte della Sapienza (in qualche modo, ogni volta che De Giorgi pronuncia la parola “sapienza” sembra di sentire l’iniziale maiuscola), diventa effettivamente un discorso davvero di pura matematica. Anche quando il tema di sposta sulla creatività matematica, il leit-motiv continua a tornare: è necessaria la predisposizione al sogno: “pensate con grande libertà, poi sforzatevi di comunicare nella forma giusta”. Come dire che la libertà di pensiero è indispensabile alla creazione, e che la libertà e l’efficienza della comunicazione sono essenziali alla diffusione della conoscenza.

Per De Giorgi, uno dei ruoli della matematica è quello di “ordinatrice delle altre scienze”. Il metodo assiomatico è una conquista universale, che dovrebbe essere estesa anche alle altre discipline, non solo a quelle scientifiche. La ricerca degli assiomi è una componente fondamentale per ogni scienza, per ogni materia e organizzazione. Dagli assiomi, poi, sarà facile far discendere il resto, ma a quel punto la natura della disciplina sarà già identificata, compresa, circoscritta, senza rischio di sbandamenti. Non solo, ma l’assiomatizzazione renderà possibile anche una migliore comunicazione: l’eccesso di specializzazione è dannoso, le conquiste essenziali di ogni tipo di conoscenza dovrebbero essere messe a disposizione di ogni uomo intellettualmente curioso dotato di normali capacità intellettive. I teoremi di Gödel, ad esempio, hanno un’importanza culturale generale che non deve rimanere ristretta alla sola matematica; e se sembra troppo difficile veicolarne il contenuto a causa dell’eccesso di tecnicismi, è importante sforzarsi per fare in modo che il nocciolo della scoperta sia trasmissibile anche fuori dall’ambiente specialistico. Dire che “non possiamo descrivere tutte le caratteristiche dei numeri naturali” non ha certo la pretesa di spiegare pienamente il contenuto dei Teoremi di Incompletezza, ma è un’informazione importante, significativa, e che può comunque essere (anzi, che deve essere) comunicata anche al di fuori dell’ambito matematico.

E le parole scorrono, nell’ora abbondante del DVD. Il plico marrone sigillato, che probabilmente contiene una rivista accademica ancora da leggere, si sposta e si muove in continuazione sulla scrivania, mentre Ennio parla del ruolo di matematica e computer (“Ah, è certo utile per chi lo sa usare con sicurezza e libertà, o perlomeno per chi ha amici che lo sanno usare con sicurezza e libertà,” – e qui un sorriso che degenera quasi in una piccola risata – “diventa dannoso solo se diventa un sostituto della fantasia. Ma è anche fonte di nuove idee, di nuovi problemi, nel senso buono del termine”), di matematica e linguaggio (“Le note matematiche dovrebbero essere scritte in buon italiano, se non vogliamo che l’italiano si atrofizzi come lingua scientifica. Sarebbe bene conservare la letteratura scientifica come letteratura linguisticamente bella: e questo farebbe bene anche all’inglese, perché quella lingua rischia l’impoverimento, se tutto viene scritto solo in inglese da persone che lo conoscono male”), di matematica e divulgazione scientifica (“Bisognerebbe alternare agli studi su problemi particolari anche presentazioni di problemi generali, come le riflessioni dal particolare al generale, dallo storico al moderno”), e poi di storia, di storicismo, di metastoria. La sua timidezza si legge benissimo dietro il sorriso quando deve suggerire qualche sua idea personale, qualche suo convincimento non dimostrabile, ma fortemente sentito. Nel discettare sull’eterno quesito se la matematica sia più un’invenzione o una scoperta, il vecchio professore ha una strana posizione intermedia: non idealista come Hardy, non operazionista come Bridgman, Ennio intravede uno strano compromesso. Un teorema, il suo enunciato, è un oggetto che si scopre, dice De Giorgi: “sta lì, in attesa d’essere scoperto”; la sua dimostrazione, invece, è pura costruzione, pura invenzione. Per questo esistono dimostrazioni diversissime dello stesso enunciato, raggiungibile talvolta anche per strade concettuali apparentemente del tutto disgiunte. E sorridendo cita i percorsi paralleli e diversi che lui e Nash hanno fatto per giungere alla stessa conclusione, e anche il fatto che, di solito, le prime dimostrazioni di un teorema sono complesse e farraginose, e subito dopo la pubblicazione si riescono a trovare altri metodi dimostrativi più facili e lineari. La verità deve essere raggiunta, ma per arrivarci si possono usare diversissimi mezzi di trasporto. L’avessimo saputo per tempo, avremmo usato De Giorgi come nume tutelare ogni volta che manifestavamo la nostra delizia nel ricevere soluzioni diverse (in metodo) allo stesso problema: nella stessa intervista, Ennio racconta che da giovane si dilettava molto a cercare dimostrazioni diverse dei teoremi da quelle che gli presentavano i libri di testo.

Quando si passa a parlare d’insegnamento della matematica, il vecchio professore della Normale non cessa di sorprendere. Comincia con una battuta “André Weil sosteneva che occorresse insegnare poca matematica e molto sanscrito…”, ma poi articola meglio la sua idea, che in fondo è un ulteriore sviluppo della sua affezione verso la convivialità: i suoi studenti raccontano che le sue lezioni erano spesso informali, al punto che talvolta professore e classe si trasferivano in blocco al vicino caffè, continuando a parlare di matematica seduti ai tavolini. “Nello studio universitario ci dovrebbe essere un spazio non trascurabile, dell’ordine del dieci o venti per cento del tempo globale, destinato allo studio degli argomenti che attraggono lo studente in modo del tutto disinteressato. Non solo argomenti attinenti al corso di laurea, anche del tutto generali o diversi. Sennò lo studente finisce col pensare solo alle cose obbligatorie, non a quelle che piacciono per puro amore della Sapienza”; è un’idea forte e rivoluzionaria, del tutto orientata verso un’immagine della cultura lontanissima dall’eccesso di specializzazione che è invece fortemente presente anche e soprattutto al giorno d’oggi. Ennio De Giorgi ne era verosimilmente ben conscio, perché l’argomento lo interessa, e ci torna sopra: “Perfino in Normale quest’offerta è limitata; e lo studente stesso di solito preferisce un binario ben prestabilito, rassicurante. Bene, l’80% del tempo è giusto che sia organizzato così, ma per il restante 20%… ci vorrebbe una sorta di “corso-avventura”, dove persino il docente non sappia dove si andrà a parare”. Ed è nel parlare di corsi-avventura, di interessi non prestabiliti e pilotati, di cultura nel senso più ampio del termine, che emerge il De Giorgi che resta maestro, anche quando non insegna matematica: “Ci vorrebbe poi un corso che si preoccupasse di insegnare i Diritti Umani. Anzi, più ancora che un corso servirebbe che la Dichiarazione dei Diritti dell’Uomo fosse distribuita a tutti, docenti e studenti dal primo all’ultimo anno, e che periodicamente ci fossero incontri, seminari, assemblee in cui questi principi vengano studiati, analizzati, discussi.”

Tutti gli esseri umani nascono liberi ed eguali in dignità e diritti. Comincia così la Dichiarazione Universale dei Diritti dell’Uomo: e così prosegue per trenta articoli che stabiliscono, fissano, in un certo senso assiomatizzano quelli che dovrebbero essere i principi fondanti dei rapporti sociali. Era il dieci dicembre 1948 quando l’Assemblea Generale delle Nazioni Unite, riunita a Parigi, adottò la Dichiarazione. Era un’Assemblea ancora mutilata e scossa dalla guerra, e come tale capace di distinguere con nettezza le urgenze della storia dalle richieste transitorie del contingente; in grado di separare le cose importanti da quelle accessorie. E in quel millenovecentoquarantotto stabilire che nessun uomo aveva diritto di perseguire, prevaricare, sfruttare, violare, schiavizzare altri uomini era considerata cosa necessaria e urgente. Ennio de Giorgi coltivava un’attenzione sviscerata verso i diritti umani, e non perdeva occasione per pubblicizzare la diffusione della carta del dieci dicembre. Non era però solo una pubblicità passiva e comoda, quella che faceva: era membro attivo di Amnesty International, e nel 1973 si era impegnato a lungo, insieme a Lipman Bers e a Laurent Schwartz, per la liberazione del dissidente ucraino Leonid Plioutsch, finché questi tornò in libertà nel 1976. Quando racconta alla videocamera di Emmer della sua idea di diffondere presso gli studenti la Dichiarazione Universale, De Giorgi sembra spostare lo sguardo fuori dalla finestra, quasi ad ampliare la visuale l’orizzonte. Poco prima ha raccontato quanto gli fosse piaciuto dedicare un po’ della sua attività di insegnamento in Africa [Su invito di Giovanni Prodi, per un mese all’anno dal 1966 al 1973, Ennio de Giorgi insegnava gratuitamente per una piccola università di Asmara, in Eritrea. Nel 1969 insegnò anche, per un certo periodo, in una scuola serale per adulti che intendevano prendere la licenza media.], e adesso sembra quasi intimidito ad illustrare quale fosse il suo sogno più grande. Forse ripensa a quando, poco prima, parlava della necessità dell’amicizia (“la tolleranza è fondamentale, ma non basta: è indispensabile che ci sia anche amicizia e comprensione, oltre alla tolleranza”). Torna a guardare l’obiettivo, e quasi scusandosi per l’evidente enormità della cosa, lo illustra chiaramente e brevemente: “Mi piacerebbe che la Costituzione della Repubblica Italiana facesse propria la Dichiarazione dei Diritti Umani. Invece di scrivere autonomamente alcuni articoli che parlano di diritti umani, non sarebbe meglio riportare integralmente la Dichiarazione Universale nella legge fondante dello stato? Sarebbe la prima nazione a farlo, e sarebbe un segnale importante, forte per tutto il mondo…”. È buffo: anche la Costituzione Italiana vede la luce nel 1948, al pari della Dichiarazione Universale. Uno strano modo di dire usa l’espressione “carte quarantotto”, per illustrare il caso in cui qualcosa va a scatafascio, finisce in totale confusione e disordine; ma fuori dal luogo comune, tutte e due le “Carte Quarantotto” che abbiamo ricordato sono documenti fondamentali per il nostro vivere civile. Ennio doveva amare profondamente entrambe, per desiderare di vederle così strettamente legate.

Era un uomo religioso. Credeva in Dio e nella resurrezione (“Posso dire di accettare tutte le proposizioni del Credo, soprattutto la resurrezione”), perché pensava che la ricerca della Sapienza, alla quale si compiaceva di concorrere con le sue ricerche matematiche, avesse senso in quanto connessa alla grandezza divina (“la sete di conoscenza è segno di un desiderio segreto di vedere qualche raggio della gloria di Dio”), e gli sembrava che tutto questo non avrebbe avuto senso se non ci fosse una vita eterna ultraterrena.

Il film finisce, e lascia De Giorgi nel suo ufficio illuminato dal caldo sole del Luglio del 1996. Non sappiamo se i suoi interrogativi sulla vita eterna fossero sollecitati anche da una sua specifica e drammatica esigenza interna, ma resta il fatto che, crudelmente, il destino ha chiamato Ennio alla verifica delle sue convinzioni pochissimo tempo dopo quella giornata passata a parlare di matematica con Michele Emmer. Appena due mesi dopo, nel mese di Settembre, De Giorgi viene ricoverato all’ospedale di Pisa. Subisce diversi interventi chirurgici, che si rivelano comunque inutili. Muore in quell’ospedale il 25 Ottobre.

Cosa abbia scoperto, in quel suo ultimo giorno, non possiamo certo saperlo, e non abbiamo neanche intenzione di chiedercelo; possiamo solo augurargli di avere i suoi desideri pienamente soddisfatti. Quel che è sicuro è che, almeno per quel che riguarda questa vita breve e terragna, è consolatorio scoprire e conoscere, anche solo attraverso un film, una mente così brillante e curiosa, un genio così originale e modesto e, soprattutto, un uomo così attento alla salvaguardia e al rispetto della dignità dei propri simili.

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Come si è certamente capito, la fonte principale di quest’articolo è l’intervista che Michele Emmer fece a Ennio De Giorgi nel Luglio 1996. Le frasi riportate tra virgolette sono pronunciate effettivamente da Ennio De Giorgi durante la registrazione del filmato. Ciò non di meno, quello che si riporta è il senso della frase, e non la riproduzione esatta delle parole, per il semplice fatto che l’autore dell’articolo si è limitato a prendere appunti a mano durante la visione del film; non abbiamo (e non abbiamo riprodotto) lo script esatto delle affermazioni del grande matematico. Il virgolettato va quindi inteso in questo senso lato, e non nel senso canonico di riproduzione esatta e meccanica delle frasi. Naturalmente, tutti gli eventuali errori nel riportare i concetti sono da attribuire a noi, e certo non a Michele Emmer o addirittura a Ennio De Giorgi.

Categorie: Le Scienze - Matematica

Il problema di Gennaio (521) – Beati gli ultimi (se riescono ad esserlo)

Rudi matematici - Lun, 01/30/2012 - 07:00

Lo confessiamo: ci aspettavamo un diluvio di commenti e contestazioni sulla “autentica carbonara”, che sembra essere la ricetta italiana con maggior numero di varianti… anzi, di vere e proprie scuole di pensiero. Invece è andata liscia, probabilmente perchè su queste cose ci si scanna meglio nel sublime blog del nostro mentore e dirimpettaio, Dario. A proposito di dirimpettai, avete notato che la famiglia dei blog di Le Scienze è cresciuta? Si è arricchita di Astri e Particelle, gran bello spazio in rete tenuto dall’augusto professor Roberto Battiston: se non lo avete già fatto, una visita se la merita di sicuro.

E comunque, siamo sicuri che non si siano levati degli scudi per contestare la carbonara di Piotr per il semplice fatto che non abbiamo descritto per bene la ricetta: a differenza dei cuochi seri (e tra gli abituali frequentatori di questo blog ve ne sono di autorevolissimi…), Piotr ha maturato la sua carbonara durante un pranzo arrangiato fra liceali che tentavano disperatamente di ricostruire a memoria le mosse fornellesche delle genitrici, con risultati spesso imbarazzanti. Quindi, non scandalizzatevi se Doc nella carbonara si adatta a mettere anche la pancetta, in assenza di guanciale; se sbatte rigorosamente sia albume che tuorlo, prima di versare le uova a crudo; se soffrigge la pancetta con una punta di peperoncino e (udite, udite!) con aglio sminuzzato; se evita di ripassare la pasta in padella, con grande scuorno della propria sorella; se impazzisce se l’uovo si raccoglie troppo o troppo poco, e soprattutto se ci mette tanto di quel pepe (”Sennò perchè chiamarla carbonara?”, dice lui…) e se non contesta se i commensali ci aggiungono pecorino o parmigiano, ma lascia il suo piatto personale privo d’alcun tipo di cacio.

Non tormentatelo troppo: lui la chiama “carbonara”, ma potrebbe essere qualsiasi altra cosa, non è particolarmente permaloso su questo… del resto, se è vera quella storia che la carbonara nasce solo durante il dopoguerra, quando raccapezzare cibo e condimenti era difficile, e qualcuno si decise (probabilmente a Roma) ad usare le razioni di “egg & bacon” dei soldati inglesi per condire i maccheroni, allora la carbonara è presumibilmente uno dei piatti più tolleranti del creato, dal punto di vista del rigore ricettesco.

E comunque, qui ci stiamo davvero dilungando troppo. Meglio tornare a riepilogare il nostro problema:

Abbiamo una bella tavolata di amici e la zuppiera arriva in tavola in una certa posizione. Il primo a riceverla la passa al proprio vicino di destra o sinistra, puramente a caso. Quando uno ha in mano la zuppiera si serve della carbonara riempiendo il suo piatto, a meno che non sia già pieno, poi passa la zuppiera casualmente a uno dei suoi due vicini. Sapendo chi sarà il primo a essere servito, calcolare come varia la probabilità di essere serviti per ultimi in funzione dalla distanza da questi, intendendo per “distanza” il numero di commensali che separano da lui nel tavolo.

Il problema nasce dalla volontà, neppure tanto recondita, di Alice, che vuole essere servita per ultima per raschiare il fondo della zuppiera: e per avere maggiori probabilità di riuscita, desiderava situarsi agli “antipodi” del punto di atterraggio della zuppiera; di qui il titolo del quesito. Ebbene, come è finita?

Il primo messaggio – in due parti – è arrivato da Martino. E poiché ha divertito soprattutto Alice, ve lo passiamo in toto:

Eleva alte preci agli dei della mensa di trovarti subito a lato di colui che riceve la zuppiera ricolma. Hai un’immediata possibilità su due (non voglio usare adesso l’altra orrida parola che inizia con “p”) di ricevere immediatamente il contenitore. Pazienza: perlomeno la mangi calda, peccato per i ciccioli.
Sei stata fortunata? La zuppiera è andata all’altro? Allora le cose si complicano, ma sono analizzabili qualitativamente in linea generale. Data la formulazione del problema, in ogni caso, colui che si è appena riempito il piatto si trova ad uno degli estremi del “tratto di tavola” in grado di nutrirsi, che a questo punto dobbiamo supporre composto da almeno due commensali.
Qual è la probabilità che la zuppiera finisca davanti al piatto vuoto detto PV? (L’altro ovviamente è pieno e lo chiamiamo PP1, essendo PP0 quello che si è appena riempito). È maggiore del 50%, infatti: in un caso su due ciò avviene immediatamente ed esiste una probabilità residua non nulla che, anche se la zuppiera ritorna (50%) a PP1 nella direzione da cui era arrivata, finisca dopo qualche rimbalzo per arrivare a PV che a questo punto diventa il nuovo PP0.
Questa probabilità residua è intuitivamente (periclitoso vocabolo ma inevitabile) crescente quanto più è grande il numero di piatti già pieni; quindi, se sei stata fortunata all’inizio e continui ad avere un minimo di sostegno dalla sorte nella fase iniziale della contesa, i ciccioli saranno tuoi.
Senza nessuna pretesa di averlo dimostrato, ciò avverrà con una probabilità finale minore del 50% ma, forse, tendente a questo valore quanto più grande è il numero dei commensali.
In realtà, però, questo è un problema perfetto per te che odi anche solo la parola “probabilità”, in quanto è assolutamente deterministico.
Per ovvie ragioni anagrafiche, in Casa RM la Padrona di Casa sei tu e il Galateo prescrive tassativamente che la Padrona di Casa sia l’ultima ad essere servita: si inizia dalla signora più importante (o evidentemente e senza possibilità di offesa anziana) a meno che al desco non siano presenti porporati o principi del sangue, e si prosegue in ordine decrescente d’importanza dei commensali. Tu, niente da fare, devi restare a fare occhiuta guardia, acciocché l’inaffidabile servitù non sbagli ordine di precedenza, eventualmente roteando la treccia al cui estremo avrai attaccata una lama piombata intrisa di veleno di cobra reale.
Buon appetito (ah, no, questo augurio è tassativamente vietato dallo stesso Galateo: non rendiamo internamente inconsistente tutta la teoria).

Capito? Qui si diventa pericolosissimi! Del resto, pochi giorni dopo, arriva un’aggiunta, sempre da Martino:

No, ipotizzare che la probabilità di mangiarsi i ciccioli possa “approssimarsi” al 50% quando il numero di commensali è molto alto è tendenzioso. Anzi, un brutale calcolo con Excel per il caso dei 4 commensali, mostra come la posizione migliore sia quella sul lato opposto della (quadrata) tavola rotonda, corrispondente alla posizione più lontana, quella suggerita dall’istinto.
Passare ad un numero maggiore di commensali complica di molto le cose, visto che l’ultimo è beato solo se TUTTI gli altri piatti sono pieni, non basta calcolare la probabilità che venga raggiunto il proprio piatto in funzione della distanza, anche se simmetrica sulla tavola circolare.
[...] Da un certo punto di vista il più lontano è il favorito in partenza, ma forse basta che si riempia qualche piatto (quanti rispetto al totale?) a far ritornare favorevole la posizione di colui che si trova ad essere il primo con il piatto vuoto all’opposta estremità dell’ultimo riempito della serie di piatti pieni. E i piatti pieni devono essere meno della metà del totale, altrimenti la cosa diventa banale.
Non mi sembra una semplice catena markoviana, anche se circolare, esistono le catene markoviane con evento associato, anche se l’evento non influenza la probabilità?
Allora posso suggerire una strategia alternativa. Alice non sceglie il proprio posto a tavola – va in bagno ad incipriarsi il naso o a rinfrescare il veleno di cobra sulla lama piombata in fondo alla treccia – poi torna in sala da pranzo, valuta la situazione e dice: «Dai, fammi posto.» allo sfortunato che si trova in quella che al momento è la posizione migliore (in effetti una “posizione migliore” esiste non appena sono stati riempiti un numero opportuno di piatti, tanto migliore quanto è maggiore il numero dei piatti pastasciuttati rispetto al totale) e si siede fra lui e il piatto pieno più lontano dall’ultimo riempito che è all’altra estremità. Ovviamente nessuno le rifiuta il favore, vuoi per cortesia, vuoi per timore della micidiale treccia roteante.
Tutto sommato è un modo, anche se brutale, di dematematizzare il problema… però occorre calcolare quel numero opportuno, ma forse è meglio invocare il Galateo…

Mentre Alice meditava le opzioni per fissare la lama piombata alla treccia, per fortuna è arrivato il contributo di Michele:

La probabilità di essere serviti per ultimi mi sembra non dipenda dalla distanza dal primo destinatario, ma dovrebbe essere identica per tutti i commensali, quindi dipende solo dal numero di questi. In qualunque posto sieda Alice infatti è necessario anzitutto che la zuppiera arrivi ad uno dei due posti a lei adiacenti (alla sua destra o alla sua sinistra), e successivamente che la stessa compia un giro intero nel verso opposto.
Il primo arrivo della zuppiera in uno dei due posti adiacenti è un evento certo, per tutti i commensali, anche se ce ne sono alcuni per i quali detto evento si verificherà prima, ad esempio per quelli che siedono ai due lati del primo destinatario tale evento è immediato.
Il secondo evento, quello cioè che la zuppiera riesca a compiere un giro di tavolo completo, in un certo numero di passaggi, senza prima ritornare al posto di Alice, è evidentemente identico per tutti i commensali.
La probabilità di essere serviti per ultimi è dunque 1/n dove n è il numero delle persone a tavola (escluso il primo destinatario) Ovviamente più è alto il numero di persone a tavola, maggiore è la probabilità che la persona a cui tocchi raschiare il fondo debba accontentarsi di un piatto molto freddo.

Così non va, carbonara fredda? No, soprattutto quella di Doc.

Finora, non vi abbiamo mostrato neppure un calcolo piccolo piccolo: la soluzione impeccabile di Michele, qua sopra, aziona leve di logica probabilistica, mostrando che si può condurre un ragionamento anche senza numeri. Ma di numeri, sappiatelo, sono arrivati. E sono arrivati in abbondanza copiosa, e con artifici che ogni mese ci sorprendono e, diamine, ci lusingano, perfino.

Così, fate i bravi: andate a vedervi la soluzione di Carlo direttamente nel suo documento, che è come sempre ricco di disegni e spiegazioni, e vale da solo una mezza tesi di laurea.

Poi non mancate di godervi quella di Bruno, che ha la dote suprema di trasformare ogni nostro gioco verbale in un gioco vero: guardate qua, ha prodotto una soluzione, una simulazione, ed un modo per visualizzare l’albero degli eventi. Impressionante.

E non sono mica tutti qua… siamo ormai ridotti a fare come le rubriche serie, a non poter citare e riportare le soluzioni di tutti. La cosa da una parte ci fa piacere, ovviamente, dall’altra ci spiace un po’, perché restano fuori da questi post mensili un sacco di belle soluzioni. Non sarà una gran consolazione, ma sappiate che leggiamo tutto, ci divertiamo molto, e che siamo grati di ogni soluzione che ci arriva.

Alla prossima!

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Amazzoni!

Rudi matematici - Ven, 01/27/2012 - 07:00

Prima vi racconto di un altro gioco.

Secoli fa, quando io ero giovane e andavano di moda i giochi intelligenti (qualcuno ha ancora un Cubo di Rubik?) era uscito un gioco supposto “per bambini”, piuttosto carino. Data una scacchiera (8×8) e due cavalli (con una piccola modifica… ve ne parlo dopo). Si mettevano negli angoli diagonalmente opposti della scacchiera e poi si cominciava a muoverli come negli scacchi; scopo del gioco non era catturare il cavallo dell’avversario, ma bloccarlo. Il gioco, visto così, sembra impossibile, se non fosse per la piccola modifica ai pezzi: ogni volta che un cavallo passa su una casella, lascia un segnalino (è fatto apposta per lasciarne giù uno ad ogni mossa) e più nessun cavallo può da quel momento fermarsi su quella casella. Caso mai non ci arrivaste da soli, con indubbio riferimento ai “segnalini” (che erano marroni), il gioco si chiamava “Plop!”.

Torniamo seri.

Un’evoluzione interessante di questo gioco, superata la fase scatologica del linguaggio, è quello delle Amazzoni.

Semplicissimo da spiegare, ma l’analisi è ancora completamente in alto mare.

Il gioco comincia con 4 Amazzoni per colore (regine degli scacchi, se volete fare i raffinati; monete da 1 e 2 euro se volete fare i ricchi); la posizione di partenza sulla scacchiera (10×10) è quella indicata (si vede? Bianco A4, D1, G1 e J4; Nero A7, D10, G10 e J7).

Posizionate le Amazzoni, il bianco inizia il gioco vero e proprio con una mossa, consistente in due parti obbligatorie e in sequenza:

1. Muove un’Amazzone
2. L’Amazzone mossa tira una freccia

L’Amazzone muove come la regina degli scacchi, e non può saltare o fermarsi in una casa occupata da altre Amazzoni o frecce; la freccia muove nello stesso modo e sottostà alle stesse regole, solo che, una volta tirata, non può più muoversi da lì (per le frecce, monete da un cent: non importa distinguere quelle di uno da quelle dell’altro). Scopo del gioco è fare in modo che l’avversario non possa fare la mossa quando tocca a lui; vi prego di notare che “non muovere” significa non poter fare la prima mossa o poter fare la prima ma non la seconda mossa con nessuna delle proprie Amazzoni.

I pezzi non si prendono e non si colpiscono con le frecce, ma si bloccano: anche la strada della freccia deve essere libera (da Amazzoni e/o da frecce). È abbastanza logico che scopo di ognuno dei giocatori è quello di “cintare” (con le frecce) una serie di territori attorno alle proprie Amazzoni di dimensioni maggiori di quelli dell’avversario, onde potersi muovere in tutta tranquillità aspettando che l’avversario si blocchi da solo; riuscire a bloccare le Amazzoni avversarie può essere una strategia che non paga. L’unica complicazione del gioco è che possono servirvi sino a novantadue cent: non un gran che in valore monetario, ma il peso lo rende un gioco più che altro da salotto (con tavolo robusto).

Se state pensando a qualche battuta sulle capacità di tiro delle signore, lo dico ad Alice e le presto il mio arco.

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C’è Carnevale e Carnevale…

Rudi matematici - Mer, 01/25/2012 - 07:00

… ma non per questo si è costretti a scegliere. Armatevi di coriandoli, righelli, stelle filanti, fogli elettronici, cartapesta, mascherine, compassi, arance (solo per eporediesi), lemmi, trombette e costumi, pallottolieri e caffè, lavagne e castagne, e fateli tutti.

Tutti e due, insomma: il Carnevale di Febbraio, quello che impazza per le strade, e il Carnevale della Matematica, quello che impazza per la rete (vabbè, diciamo per quel pezzo di rete che non indulge in matefobia). Già, perchè nel  mese in cui sfileranno carri e voleranno coriandoli (nel migliore dei casi), voleranno anche post matematici, e le previsioni del tempo carnematelescialesco prevedono cumulonembi di post addensati proprio sopra questo blog.

Risposta esatta, signori: il 46° Carnevale della Matematica in lingua italiana sarà ospitato da questo orgoglioso pezzo del web. La data fatidica è quella del 14 Febbraio (sì, san Valentino, con quel che segue), e noi cominciamo a sollecitare materiale e creatività: fare gli anfitrioni ci lusinga. Non che sia la prima volta, del resto: ma forse non tutti sanno che (cit. Settimana Enigmistica) la tradizione del Carnevale della Matematica parte in lingua inglese, e a casa nostra (in Italia, o meglio nella sezione in lingua italiana del web) sono ormai diversi anni che va avanti. Noi ricordiamo ancora quando è cominciato tutto: e se dite che questo è solo un sintomo di vecchiaia, preparatevi ad essere sfidati a duello.

Se ospiteremo il Carnevale #46, è facile dedurre che di Carnevali italiani ne sono già stati dati alla luce ben 45. E non vediamo l’ora di farveli vedere tutti. Tenete presente che ogni carnevale contiene una piccola pletora di link a post di natura matematica: non li abbiamo contati, ma siamo virtualmente certi che, annidati dietro un solo grado di separazione, qua sotto trovino posto più di mille articoli matematici:

01 – 14 maggio 2008 – Gli Studenti di Oggi
02 – 14 giugno 2008 – Notiziole di .mau.
03 – 14 luglio 2008 – Matematicamedie
04 – 14 agosto 2008 – Chartitalia
05 – 14 settembre 2008 – Rudi Matematici
06 – 14 ottobre 2008 – Matem@ticaMente
07 – 14 novembre 2008 – Marcello Seri
08 – 14 dicembre 2008 – Matematica 2005
09 – 14 gennaio 2009 – Notiziole di .mau.
10 – 14 febbraio 2009 – Gli Studenti di Oggi
11 – 14 marzo 2009 – Marcello Seri
12 – 14 aprile 2009 – Gravità Zero
13 – 14 maggio 2009 – Matem@ticaMente
14 – 14 giugno 2009 – Matematica 2005
15 – 14 luglio 2009 – Rudi Matematici
16 – 14 agosto 2009 – Notiziole di .mau.
17 – 14 settembre 2009 – Gravità Zero
18 – 14 ottobre 2009 – Science Backstage
19 – 14 novembre 2009 – Gli Studenti di Oggi
20 - 14 dicembre 2009 – Matem@ticaMente
21 - 14 gennaio 2010 – Chartitalia
22 - 14 febbraio 2010 – Rudi Matematici – La pazzia e l’amore
23 - 14 marzo 2010 – Popinga
24 - 14 aprile 2010 – Gravità Zero
25 - 14 maggio 2010 – Matem@ticaMente – La Bellezza della Matematica
26 - 14 giugno 2010 – Science Backstage
27 - 14 luglio 2010 – Maurizio Codogno (il Post)
28 - 14 agosto 2010 – Gli studenti di oggi – Numeri perfetti
29 - 14 settembre 2010 – Rudi Matematici – 29 Settembre, i numeri primi e non
30 - 14 ottobre 2010 – Popinga
31 - 14 novembre 2010 – Science Backstage
32 - 14 dicembre 2010 – Matem@ticaMente – La matofobia
33 - 14 gennaio 2011 – Notiziole di .mau. – Il Calendario
34 - 14 febbraio 2011 – Rangle – Matematica e realtà
35 - 14 marzo 2011 – Pi Greco Quadro - Cerchi, sfere e altre rotondità
36 - 14 aprile 2011 – Rudi Matematici - Consapevolezza Matematica
37 - 14 maggio 2011 – DropSea – In fuga dal Cappellaio
38 - 14 giugno 2011 – Maddmaths! – La matematica nella vita quotidiana
39 - 14 luglio 2011 – Notiziole di .mau. – giochi matematici
40 - 14 agosto 2011 – Popinga – Quant’è bella la Geometria
41 - 14 settembre 2011 – Gli Studenti di Oggi – Impossibilità
42 - 14 ottobre 2011 – Maurizio Codogno (il Post) – Matematica e letteratura
43 - 14 novembre 2011 – Pitagora e dintorni- Da dove proviene la matematica?
44 - 14 dicembre 2011 – Popinga – Storia e storie: libri, personaggi, aneddoti, gossip matematico, evoluzione del pensiero, intoppi, errori.
45 - 14 gennaio 2012 – Matem@ticamente – Teoria della computazione (informatica moderna; algoritmi e computazione; grammatiche; automi…)

Come vedete, negli ultimi anni è stata introdotta la tradizione di proporre un tema (normalmente molto aperto); comunque i contributi liberi – cioè rigorosamente fuori tema, come i nostri – sono sempre accettati. Sull’altare dell’autoreferenzialità, di Bertrand Russell, di Kurt Gödel e della Poca Voglia di Lavorare, noi abbiamo proposto come tema per il Carnevale della Matematica “La matematica del Carnevale“, e naturalmente non mettiamo alcun limite interpretativo né alla parola “matematica” né al termine “carnevale”.

Che aspettate? Preparate anche voi un post sulla Matematica del Carnevale per il Carnevale della Matematica, diventate MateCarnevalisti! Non si paga niente, si finisce diritti diritti nel Gotha della matematica del web, e magari ci si diverte pure. Quindi scrivete, pubblicate (e se non avete un blog non preoccupatevi troppo, una soluzione si trova), e mandateci il link.

E non fate quelle facce… in fondo, lo sapete anche voi che i coriandoli tassellano il piano. Math is everywhere, no?

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…ma è logico!

Rudi matematici - Ven, 01/20/2012 - 07:00

Forse, solo “puntate… mirate… fuoco!” è frase più pericolosa da sentire (mentre siete bendati) di quella che dà il titolo a questo post.

In effetti, l’applicazione dei concetti base della logica (”o l’uno o l’altro”; “questo e quello”, eccetera…) rischia di essere estremamente pericolosa: e abbiamo intenzione di dimostrarvelo usando proprio le categorie più semplici, quelle dei sinceri e dei bugiardi, di cui sembrava avessimo detto tutto, ormai.

[1]–Supponiamo, ad esempio, di aver appena conosciuto due persone (Aldo e Bruno?), ognuna delle quali è un sincero o un mentitore. Aldo fa la seguente affermazione: “Se io sono sincero, allora lo è anche Bruno”.

Cosa ne dite, dei nostri due compari?

Adesso, vi forniamo alcuni quesiti dei quali non vogliamo la risposta; la domanda vera, in effetti, è: “Perché non nevogliamo la risposta?”. E a quest’ultima domanda la risposta la vogliamo, diamine.

[2]–Incontrando un tizio di cui non sapete se sia un sincero o un mentitore, gli chiedete se sia un sincero. La sua risposta, decisamente seccata, è: “Se sono un sincero, ad una domanda del genere dovrei rispondere tirandovi un pugno sul naso!” Dimostrate che è meglio mettersi in guardia per parare un pugno.

Quella sopra era facile, e forse anche una di queste due:

[3]–Un tizio mi ha detto: “Se sono un sincero, due più due fa quattro”

[4]–Un (altro) tizio mi ha detto: “Se sono un sincero, allora due più due fa cinque”.

Sarebbe interessante sapere chi è il bugiardo, da queste parti… Anche se, tornando alle domande sensate (quindi qui rispondete alla domanda, non al perchè della domanda), è facile trovare degli inghippi:

[5]–Voi sapete che Aldo e Bruno sono o tutti e due sinceri o tutti e due mentitori: a questo punto, Aldo fa l’affermazione: “Se Bruno è un sincero, allora io sono un mentitore”. Cosa ne deducete?

Adesso, andiamo nel difficile.

Sembra che, quando qualcuno fa affermazioni su un altro, si possa verificare immediatamente cosa sta succedendo; ma quando sono in dubbio sia le prime che le seconde affermazioni (qualsiasi attributo abbiate intenzione di dare a una qualsiasi affermazione), si finisce di solito nei guai.

[6]–Supponete ad esempio di dover valutare se Zoe o Vittorio (sì, andiamo a pescare dall’altro lato dell’alfabeto) ieri erano in ufficio o no (e in ufficio qualcuno c’era, altrimenti non saremmo qui a farci domande stupide). Aldo e Bruno vi forniscono le seguenti affermazioni:
Aldo: Se Zoe era in ufficio, c’era anche Vittorio
Bruno: O Zoe era in ufficio o Vittorio non era in ufficio.

Di chi fosse in ufficio non potrebbe interessarci di meno, ma c’è la vaga sensazione che Zoe e/o Vittorio stiano prendendoci per i fondelli: cosa potete dire, sul fatto che siano sinceri o bugiardi?

[7]–Facile, sin qui: giusto un paio di persone… Ma quando ne entra in ballo una terza si rischia grosso: ad esempio, se avete Aldo, Bruno e Carlo, poteste trovarvi nella seguente condizione:
Aldo:” Bruno è un sincero”.
Bruno: “Se Aldo è un sincero, lo è anche Carlo”

Disgrazia vuole, a questo punto, che Carlo sia colto da laringite, e se ne stia zitto: cosa potete dire, su questi tre prenditori per i fondelli?

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Equazioni Diofantee

Rudi matematici - Ven, 01/13/2012 - 06:00

“Un contadino, al mercato, vende dei polli ad A lire l’uno e dei conigli a B lire l’uno; considerato che ha ricavato dalla vendita C lire, si chiede quanti conigli e quanti polli ha venduto”.

Avete di fronte a voi un raro esemplare di problema noioso, scarsamente divertente e enormemente rompiscatole; quando però l’intelligentone di turno ve lo propone e voi gli dite che problemi del genere non vi interessano, lui fa la faccia contenta e strilla: “Aaaah, vuol dire che non sei capace!”. La cosa verrà opportunamente strombazzata ai quattro venti, ad indubbio detrimento della vostra autorità matematica. Tra l’altro, questi problemi sono talmente vecchi che, di solito, ben che vada il villico ricava 30-40 lire: avessero almeno il lampo di genio di passarlo in euro…

Quello che ci interessa (o meglio quello che serve per risolvere il problema), come si arguisce facilmente, è trovare le soluzioni intere dell’equazione:

A x + B y = C

Per risolvere questa equazione, si cercano, per prima cosa, le soluzioni dell’equazione associata:

A x + B y = 1

Ora, se andate a riprendere un post di qualche tempo fa (Frazioni Continue Aritmetiche), vedrete che ci era passata davanti un’espressione del tipo:

che, ammetterete, mostra una sospetta parentela con la nostra equazione associata: infatti, le ridotte che vi compaiono non sono altro che le ridotte di A/B.

L’unico guaio sono i segni… ma questi non rappresentano un grosso problema; il secondo membro, infatti, è funzione del numero di termini dello sviluppo in Frazioni Continue Aritmetiche; dovreste anche ricordare, però, che possiamo far diventare il numero dei termini pari o dispari a nostra scelta. In particolare, se l’equazione è nella forma Ax+By ci serviranno un numero dispari di termini, mentre se è nella forma Ax-By ce ne serviranno un numero pari (no, non ve lo dimostro… appartiene all’insieme delle noiosaggini).

Da questo, otteniamo le soluzioni particolari dell’equazione associata:

…e da queste, utilizzando t come parametro, si hanno le soluzioni generali dell’equazione originaria:

Siccome oggi sono in buona, vi faccio un esempietto: il contadino, i polli e i conigli metteteli voi, partiamo dall’equazione.

120 x – 49 y = 7

Dunque, per prima cosa calcoliamo la serie delle ridotte di 120/49 (vi siete accorti che è la stessa frazione dell’altra volta? È per risparmiare calcoli):

da cui, i nostri valori dovrebbero essere 49 e 20, se non fosse per il fatto che devo avere un numero pari di termini (c’è il segno meno nell’equazione); quindi, devo “riaggiustare” il mio sviluppo:

da cui la nostra tabella diventa:

e, utilizzando la precedente equazione per t=0, otteniamo la soluzione:

Che è la soluzione “base” della nostra equazione.

È utile notare che condizione necessaria per la risoluzione dell’equazione è che A e B (cioè, nell’esempio, 120 e 49) siano primi tra loro, ossia (A,B)=1.

Riepilogando e aggiungendo anche il caso per il segno positivo, il metodo generale è:

L’equazione diofantea generale:

Si risolve come:

Sviluppare A/B in frazione continua

Nel caso di segno positivo, in un numero dispari di termini

Nel caso di segno negativo, in un numero pari di termini

Generare la serie delle ridotte

Note le soluzioni particolari dell’equazione associata Ax ± By = 1, pari a

Si ricavano le soluzioni generali dell’equazione data

Nel caso di segno positivo:

Nel caso di segno negativo:

Semplice, chiaro e (relativamente) poco faticoso, se avete studiato…

Per concludere, vi passo un problemino da sottoporrre all’antipatico di cui all’introduzione mentre ha ancora la bocca aperta dallo stupore per la vostra soluzione (il metodo per risolverlo è una diofantea con numeri “grossi”: tranquilli, vi do anche la soluzione):

Su un’isola deserta, fanno naufragio cinque marinai; appena arrivati, raccolgono un mucchio di noci di cocco, allietati da una scimmietta che saltella loro intorno (no, non ruba le noci…). Essendosi fatto tardi, decidono di rinviare la divisione delle noci tra di loro al giorno successivo.

Durante la notte, uno dei marinai si sveglia e, considerando che molto probabilmente il giorno dopo ci sarebbero stati dei litigi per la divisione, senza chiamare gli altri divide il mucchio in cinque parti uguali; la divisione fa sì che avanzi una noce, che dà alla scimmietta; dopo aver nascosto il “suo” quinto di noci, torna a dormire.

Per farla breve, tutti i marinai si svegliano (uno per volta all’insaputa degli altri), si avvicinano al mucchio reduce dalla divisione del marinaio precedente, fanno la divisione, nascondono la loro parte, danno la noce avanzata alla scimmia (tutti avanzano una noce) e tornano a dormire.

Al mattino, quando si svegliano tutti, nessuno ha la coscienza propriamente pulita, quindi nonostante le dimensioni del mucchio siano quantomeno strane, effettuano come se niente fosse la divisione di quanto rimasto; questa volta, la scimmietta resta a digiuno.

Quante noci dovevano avere raccolto come minimo i nostri eroi per riuscire a fare una ripartizione del genere?

Sì, certo, è un problema di cui abbiamo già parlato. Se N è il numero totale delle noci all’inizio, A il numero di quelle nascoste dal primo marinaio, B quelle nascoste dal secondo e avanti sino ad F che sono quelle che si dividono fraternamente al mattino, il sistema risolutivo viene ad essere:

Notare che, se sostituite il secondo membro dell’ultima equazione con 5F+1, date una noce alla scimmietta anche nell’ultimo giro e vi ritrovate con dei numeri più grandi.

Comunque, sostituendo in salita, la nostra equazione si riduce alla:

1024 N – 15625 F = 8404

La frazione si sviluppa:

E otteniamo la successione delle ridotte:

Da cui, le soluzioni particolari dell’equazione associata e dell’equazione data:

E le soluzioni generali:

Le soluzioni per t che forniscono il valore minimo (positivo) per N e F sono:

Dovendo t essere un intero, il valore cercato è t=-5835. Sostituendo nelle [017], si ottengono i valori finali:

Che è il nostro risultato.

L’altra formulazione del problema fornisce un valore di N pari a 15621 (beh, questa, se volete, ve la calcolate voi).

Il problema è piuttosto vecchiotto ma lo conoscono in pochi visto che, per tentativi, ci vuole un mucchio di tempo; e sembra sia esistita una sola persona al mondo che abbia dato istantaneamente la risposta alla versione in cui veniva data una noce alla scimmia anche l’ultima volta; trattasi di P.A.M. Dirac (Nobel per la fisica, padre inglese della Meccanica Quantistica, e primo teorico delle antiparticelle, caso mai non ve lo ricordaste…), che ha immediatamente risposto: “Quattro noci negative“. Il primo marinaio dà una noce positiva alla scimmia e si ritrova con cinque noci negative; ne nasconde una; il secondo marinaio dà una noce positiva alla scimmia e via così… Dirac sosteneva che la sua soluzione era più elegante di quella a noci banalmente positive: tanto per cominciare, i numeri in valore assoluto sono più piccoli, e poi al mattino i marinai non dicono nulla in quanto le noci (negative) sono quattro, proprio come la sera prima…

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