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15 Dicembre 1802 – Buon compleanno János!

Rudi matematici - Gio, 12/15/2011 - 06:00

V) Se una retta, incontrandone altre due,
forma con queste da una medesima parte
angoli interni minori di due angoli retti,
allora tali due rette, infinitamente prolungate,
da questa stessa parte finiranno con l’incontrarsi
(Euclide – “Elementi” – Libro I – Postulati)

Negli atlanti storici si scoprono confini incredibili, e nazioni senza popoli.

Ad esempio si possono scoprire piccoli scontri di frontiera esplosi sul confine russo-spagnolo, per quanto possa sembrare impossibile che una simile frontiera sia mai esistita: ma nel 1812, quando la costa occidentale del Nord America era ancora indecisa e si estendeva dalle propaggini settentrionali del Messico spagnolo su fino alle coste più meridionali della russa Alaska, appena a nord di San Francisco si poteva trovare Fort Ross, e “Ross” era proprio nome che discendeva da “Russia”. Oppure, pur rimanendo nella vecchia Europa, si può ritrovare un regno lungo, sottile e caduco, incredibilmente situato ad ovest della Germania ed ad Est della Francia. Dal mare d’Olanda scendeva a coprire tutta la fascia del Reno, scavalcava le Alpi, invadeva l’Italia e racchiudeva al suo interno anche Roma. Correva allora il nono secolo dopo Cristo e Aachen, di quel regno degna capitale, si chiamava ancora Aquisgrana: non era ancora città tedesca schiacciata su una selva di linee di confine (un po’ di Germania, un po’ d’Olanda, con il Belgio e il Lussemburgo dietro l’angolo e la Francia, come al solito in questi paraggi, vicina e onnipresente), ma, al contrario, era baricentro e cuore del giovane e instabile Impero dei Franchi. E quello strano regno centrale, che proprio dell’Impero manteneva il nome, aveva il compito di salvaguardare l’unità imperiale e le due imperiali capitali: Aquisgrana, come centro politico e regale, e Roma, come centro indissolubile dell’impero religioso.

Era costume dei Franchi dividere nelle successioni i possedimenti paterni fra tutti i figli eredi: e se il destino aveva deciso che, nonostante la pletora di figli, Carlo Magno dovesse infine trasmettere il suo impero integro e indiviso al figlio Ludovico, quest’ultimo non sfuggì invece alla tradizione frammentante. Prima di morire diligentemente suddivise il giovane Sacro Romano Impero in tre regioni, una per ogni figlio: da una parte la Francia, destinata a Carlo il Calvo; dall’altra parte la Germania, regno di Ludovico II, non per niente soprannominato “il Germanico”. In mezzo rimaneva proprio la terra dotata di titolo imperiale e di due capitali; era destinata a Lotario, l’erede imperatore. Di quel regno, l’unica cosa che durerà davvero a lungo sarà il nome: è da Lotario che infatti discende la dizione “Lotaringia”, o, per dirla più correttamente, il “Lotharii Regnum”. Ed è attraverso questo termine e alla sua contrazione franca che si arriva a “Loherrègne”, ovvero a quella che ancora oggi si chiama “Lorena”. Una tormentata regione che per secoli, insieme alla consorella Alsazia, ha continuato ad oscillare nei destini e nei confini ora tedeschi, ora francesi.

Solo due generazioni erano bastate a frantumare in possedimenti piccoli e dispersi il grande Sacro Romano Impero di Carlo Magno: e sì che proprio sotto il regno del fondatore dell’impero si arrivò davvero vicini alla costituzione d’un gigantesco soggetto politico. Dall’altra parte del Mediterraneo, all’inizio del nono secolo, splendeva ancora fulgente la gloria dell’Impero Romano d’Oriente e, per uno dei capricci della storia, a Bisanzio governava una donna bella e decisa, proprio mentre in occidente Carlo era nuovamente rimasto vedovo di una delle sue molte mogli. La romana imperatrice Irene e il romano imperatore Carlo si studiarono da lontano, e l’ipotesi d’un matrimonio doppiamente imperiale venne seriamente presa in considerazione. Non si concluse nulla, però: e l’Impero Romano di Bisanzio proseguì la sua storia per altri sei secoli, mentre il Sacro Romano Impero rimbalzò per l’Europa per un altro millennio, disgregando nazioni più di quanto riuscisse ad aggregarle.

È curioso notare come, pur già a distanza di secoli dalla caduta dell’Urbe, l’aggettivo “romano” fosse ancora merce così preziosa, nella denominazione d’un dominio imperiale. La gloria millenaria di Roma era ancora intatta e senza pari, e ogni potente voleva in qualche modo riallacciarsi a quella potenza inarrivabile, almeno nel nome. Non che Irene e Carlo non avessero diritti reali: l’impero bizantino era davvero l’erede orientale delle aquile delle legioni romane; e Carlo Magno, da par suo, era stato incoronato da papa Leone III come Imperatore dei Romani direttamente in San Pietro, quindi sia l’aggettivo “sacro” che quello “romano” avevano la loro ragione d’essere. Ciò non ostante, esiste anche una ragione più sottile e non meno importante per rimarcare la “romanità” degli imperi medievali: ed è ragione nascosta nei Testi Sacri. Nella Bibbia si ritrova infatti la “visione di Daniele”, che ammonisce: “Figlio dell’Uomo, comprendi bene. Questa visione riguarda il tempo della fine” (Daniele 8,17). È una visione che narra di quattro bestie; un leone, un orso, una pantera e una bestia terribile e senza nome: secondo Daniele, le quattro bestie rappresentano gli imperi della Terra; nell’ordine corrisponderebbero pertanto all’impero babilonese, a quello dei Medi, al persiano e infine l’ultimo – innominabile – all’impero greco proprio dei tempi di Daniele stesso. Questa celebre visione venne però in seguito riadattata e rivista, e per quasi tutta l’epoca cristiana l’interpretazione cambiò secondo quello che veniva chiamato “sistema romano”: il primo impero restava quello di Babilonia, ma il secondo riuniva sotto una sola voce quello medio e persiano; il terzo riguardava il dominio greco, da Alessandro il Grande fino ai successori Seleucidi e Lagidi, e finalmente l’innominabile quarto diventava il travolgente impero di Roma. Non è variazione di poco conto, nella lettura profetica: innanzitutto riportava nella cronaca quotidiana la profezia, cosa che non poteva essere più realizzata dalla vecchia interpretazione che terminava con il dominio dei Greci; in secondo luogo, stabiliva che l’Impero Romano deve essere inevitabilmente l’ultimo della Terra. Le Sacre Scritture non possono sbagliare, e nessun altro impero dopo quello di Roma viene citato: di conseguenza, per un re cristiano, è possibile solo “risuscitare” l’impero romano, e non fondarne uno nuovo.

“Quintum non datur” si potrebbe dire, parafrasando un principio della logica aristotelica, e il comandamento sembra valere non soltanto per gli imperi di questa Terra. Fu proprio Aristotele a sistemare definitivamente la “chimica” greca: come già fece Empedocle prima di lui, prese l’Acqua di Talete, il Fuoco di Eraclito e ad essi aggiunse Terra ed Aria, restringendo così il numero degli elementi costituenti a quattro soltanto: una tavola periodica decisamente più facile da ricordare di quella di Mendeleev. Non che fosse che per questo ovvia o banale: le relazioni che governavano gli Elementi erano comunque ispirate dall’osservazione della natura e dall’idea che dovesse esistere una simmetria fondante. Ogni elemento possedeva due delle quattro caratteristiche fondamentali (Caldo Freddo Secco Umido): ad esempio la Terra era Fredda e Secca, mentre il Fuoco è Caldo e Secco. Gli elementi erano a coppie pesanti (Terra-Acqua) o leggeri (Fuoco-Aria), e così via. “Pesanti”, ovvero “gravi”. E la legge della “caduta dei gravi” riguardava appunto solo quei corpi “naturalmente gravi”, aristotelicamente composti soprattutto di Terra e Acqua. Il Fuoco e l’Aria (e presumibilmente i loro derivati) erano invece corpi “naturalmente lievi”, niente affatto sottomessi alla legge di “gravità”.

Il numero quattro consentiva combinazioni simmetriche e sufficienti alla composizione d’una cosmologia: e una tale eleganza numerica non era cosa d’importanza trascurabile nella Grecia antica. In fondo, è proprio quella terra ove Pitagora predisse la scoperta d’un Quarto Continente oltre ai noti Europa, Asia e Africa, per mere ed estetiche ragioni di simmetria.

Talvolta, però, è difficile far quadrare i conti, anche se solo di conti filosofici si tratta. I quattro elementi non bastano a descrivere l’intero universo: Aristotele guarda il cielo e tutto quanto è di natura celeste, e decide che la materia che compone il cielo non è derivabile dai quattro elementi noti. Deve esserci un “pempton stoicheion” un “Quinto Elemento” diverso dagli altri, per poter costruire il cielo: e proprio da qui prende il via la lunga separazione tra natura celeste e natura terrena degli enti, separazione che sarà risolta solo quasi duemila anni dopo lo Stagirita, per mezzo della rivoluzione copernicana. Nel tardo latino medievale, il quinto elemento aristotelico diventa la “quinta essentia”, ovvero la quintessenza che ancora abita i nostri dizionari. Il significato corrente attuale è “… ciò che è di più raffinato in qualche cosa”, proprio perché la natura etere della quintessenza celeste era immaginata essere pura, sottile e impalpabile”.

C’è comunque sempre la traccia di una rottura di simmetria, quasi l’introduzione di una eccezione, d’una anomalia, se si deve rinunciare all’equilibrata pace del quattro per tuffarsi nella spigolosa disparità del cinque. Lo stesso termine “quintessenza” è di recente tornato ad abitare i libri di fisica dal quale era stato cacciato via in epoca rinascimentale, e sempre a causa d’un mistero cosmico.

La cosmologia è una scienza misteriosa, legata com’è a molti modelli e ad un unico oggetto di studio; questo comunque non implica che sia necessariamente statica o noiosa, ma soltanto che è estremamente difficile fare degli esperimenti con essa. E, forse proprio a causa di questo vincolo, nella cosmologia trovano spazio spesso delle teorie d’avanguardia, quando non decisamente ardite. Il punto centrale del dibattito è sempre il medesimo: nella sua forma cosmologica è vecchio di circa cento anni, mentre nella sua forma più generale ha già qualche secolo, e può riassumersi nella semplice domanda “È il nostro universo piatto?”. Naturalmente l’aggettivo “piatto” va inteso in senso fortemente tridimensionale, e corrisponde di fatto al termine “euclideo”. Se la risposta fosse “No”, allora sapremmo che il nostro universo è “curvo”, anche se quest’informazione non potrebbe non essere considerata ancora incompleta. È una curvatura positiva, che conduce ad un universo Chiuso? O è invece negativa, tale da prospettare un universo definitivamente Aperto?

Prima dei cosmologi relativistici, furono i semplici geometri euclidei a porsi la domanda, ma i termini della risposta sembrano oggi viaggiare su considerazioni fisiche e non più meramente geometriche. Dalla curvatura dell’universo sembra infatti dipendere anche la sorprendente accelerazione cui è sottoposto, e la determinazione delle grado di curvatura diventa di conseguenza ancora più significativa. In ultima analisi, la curvatura dell’Universo sembra dipendere dal bilancio globale tra massa ed energia, e i conti, anche in questo caso, faticano a tornare. Ipotesi fantascientifiche si susseguono e vengano ripetutamente sottoposte a verifica: Materia Oscura, Ipotesi Inflattiva, costante di Hubble “costantemente” modificata… Tutto è in fondo riconducibile alla “lambda” di Einstein, la costante introdotta malvolentieri nelle equazioni della Relatività Generale per giustificare la “staticità “ dell’Universo, quando questa staticità sembrava essere condizione indispensabile per una cosmogonia di inizio Novecento. Prima introdotta e poi rinnegata, la “lambda” sembra adesso tornare alla ribalta con significati abbastanza imprevisti: secondo alcuni teorici connoterebbe la “Dark Energy”, l’“Energia Oscura”, dalle caratteristiche quanto mai interessanti. Si ipotizza infatti che per questa tenebrosa materia-energia la gravità abbia direzione repulsiva, e non attrattiva come siamo abituati a conoscerla nella nostra materia ordinaria: e quest’inversione del segno della gravità potrebbe giustificare l’altrimenti inspiegabile accelerazione dell’Universo, e anche il suo destino segnato verso una curvatura “aperta”.

Energia oscura, Massa oscura, nomi evocativi che sono infine stati congelati proprio nel desueto termine aristotelico: Quintessenza. È sempre molto difficile comprendere la consistenza di ipotesi scientifiche così rivoluzionarie quando sono così recenti: a quanto sembra, misurazioni della radiazione cosmica di fondo (CMB: Cosmic Microwave Background) porterebbero a concludere che l’Universo sia composto per il 4% dei “ordinaria materia barionica” – cioè quella che ci è più familiare – mentre il 26% sarebbe “materia oscura fredda (Dark Matter)”. Resterebbe pertanto addirittura un rotondo 70% per la “Dark Energy”, ovvero per la Quintessenza: una distanza profonda tra la materia celeste e materia terrestre sembra tornare in auge, e il recupero del termine sembra davvero giustificato nella pienezza del suo originale significato aristotelico. Anche perché è già pronta una buona “exit strategy”: se tutta la teoria si rivelasse sbagliata, si può sempre ricordare che Quintessenza è anche una regina del “Gargantua e Pantagruel” di Rabelais, e farsi una risata liberatoria.

Il salto da quattro a cinque sembra essere sempre traumatico. E chissà che, per una volta, il peccato originale non sia davvero di origine matematica. Un solco profondo tra il quarto ed il quinto elemento d’una breve lista è stato scavato ventitre secoli fa da Euclide, quando nelle prime pagine del Primo Libro dei suoi “Elementi” inserisce un postulato che, rispetto ai primi quattro, stona quanto una cornamusa in un quartetto d’archi. Il Quinto Postulato – detto anche “delle Parallele” – appare infatti artefatto, complesso: peggio ancora, sembra proprio “dimostrabile”, che è insulto supremo per ogni postulato che si rispetti. È stato scritto e riscritto, riformulato, espresso in cento forme diverse e tutte equivalenti: la forma originale (lingua a parte, naturalmente) di Euclide è quella che campeggia sotto il titolo di questo articolo, e obiettivamente non appare essere una “verità evidente”, come il nome “postulato” richiede. Non è un caso se colui che chiede un’elemosina o anche solo attenzione si chiama “postulante”: la parentela con “postulato” c’è, ed è strettissima. La dialettica è pur sempre un duello verbale, e inizia proprio con due avversari che logicamente si fronteggiano: il “postulato” è quanto si sa di poter postulare – ovvero “chiedere” – all’avversario, perché questo non farà fatica ad ammetterlo tanto evidente è la sua verità; e naturalmente non sarà richiesta per esso una logica dimostrazione.

Non è questione di modestia intellettuale o di scarsa agilità mentale dei contemporanei di Euclide: si fa sempre un gran parlare del Quinto, ma perché non provare a dare uno sguardo ai primi quattro? È un’esperienza niente male, soprattutto dopo essersi persi nei formalismi rigorosi del ventesimo secolo:

I) Si può tirare un segmento da un punto all’altro

Forse occorre precisare che per “segmento” Euclide intende “segmento di linea retta”, e che questo è stato correttamente definito nelle prime pagine degli Elementi. Ugualmente è stato definito il punto, e di conseguenza il postulato è davvero ad un tempo elementare e misterioso. Elementare perché è davvero intuitivo comprendere cosa Euclide intende: misterioso perché viene da chiedersi se sia davvero necessario introdurre un postulato per definire questo concetto. In fondo, Euclide ha già imposto cinque “assiomi” – asserzioni di “senso comune” che stabiliscono principi di relazione tra grandezze – e ha definito gli elementi base della geometria. Questo postulato sembra asserire solo la “costruibilità” di un segmento da due punti dati. Serve davvero un postulato per questo?

II) Un segmento può essere infinitamente esteso

Anche questo sembra postulato di mera costruzione, però contiene al suo interno il terribile infinito. È un salto logico profondo, come tutti quelli che introducono l’infinito: a posteriori, riabilita un po’ anche il precedente, perché lo si può vedere come puro contraltare di questo: un tratto rettilineo può essere finito, delimitato da punti, o anche infinito, senza limiti. Non si capisce ancora se serva o meno un postulato per affermazioni così basilari, ma quantomeno si comincia ad intuire che – qualora abbia senso il Primo Postulato – certo anche questo Secondo avrà diritto di cittadinanza in geometria.

III) Dato un segmento, si può disegnare un cerchio avente il segmento per raggio e uno degli estremi del segmento come centro del cerchio.

Più complesso dei precedenti, ma comunque ancora un postulato di costruzione. È l’anello di congiunzione curvo e rettilineo, tra le rette e i cerchi che popoleranno tutte le dimostrazioni euclidee. A voler essere irrispettosi, lo si potrebbe sintetizzare con “I compassi esistono, e funzionano”, ma non abbiamo intenzione di essere irrispettosi.

Notiamo solo che anche questo postulato è talmente evidente (a livello di senso comune) da non sembrare necessario; al tempo stesso è tanto complesso (a volerlo definire rigorosamente, senza utilizzare minimamente il senso comune) che il significato ultimo rischia di sfuggire. Ma non vale soffermarcisi troppo, perché e tempo di introdurre un vero capolavoro:

IV) Tutti gli angoli retti sono uguali.

E questo è davvero un mistero. È quasi una vergogna che sul Quinto Postulato siano stati scritte montagne di pagine, lasciando questo suo fratello maggiore nel limbo della scarsa notorietà. È bene rammentare che non bisogna giudicare Euclide troppo ingenuo: le sue parole hanno certo un’aria antica, almeno rispetto ai criteri e al linguaggio della matematica moderna, ma spesso sono efficienti, e talvolta poetiche. La prima delle sue 23 “definizioni” è l’incipit perfetto di tutta la geometria:

1. Punto è ciò che non ha parti.

È davvero profondo. Il punto non ha parti, non è strutturabile, non è “divisibile”. È un atomo (“indivisibile”) senza dimensione, e al tempo stesso genera tutte le dimensioni successive. Esistono molte possibili definizioni di “punto”; molte sbagliate, alcune illuminanti, altre precise e calzanti; ma è davvero difficile immaginarne una che abbia al tempo stesso un così elevato grado di precisione e di poesia, nella sua fulminante brevità. Quindi, non possiamo immaginarci Euclide come uno che spreca parole. E, sempre nelle sue “definizioni”, si trovano gemme di profondissima attenzione ai fondamenti. Ad esempio:

13. Termine è ciò che è estremo di qualcosa.

che è affermazione che va ben oltre la matematica. Oppure:

2. Linea è lunghezza senza larghezza.

appena meno evocativa della definizione di punto… e così via. Ebbene, alla decima posizione troviamo un esplicito:

10. Se una retta è innalzata su un’altra retta e forma con essa angoli adiacenti uguali fra loro, allora ciascuno dei due angoli è retto, e la retta è detta perpendicolare a quella su cui è innalzata.

Anche in questo caso abbiamo una definizione operativa e meditata degli angoli retti e delle rette perpendicolari, che non a caso prendono battesimo dalla medesima argomentazione euclidea. Così, la domanda devastante che generazioni di geometri avrebbero dovuto porsi è “Data una così esplicita, chiara e sufficiente Decima Definizione, che bisogno c’era di un Quarto Postulato che sembra un’autentica presa in giro?”. “Tutti gli angoli retti sono uguali”. Diamine, e come potrebbero mai non esserlo? Anche tutti gli angoli di 63°12’ 67” sono uguali. E lo sono specialmente se uso il concetto di “angolo uguale” già nella definizione stessa di angolo retto. Eppure Euclide, colui che non spreca parole, l’uomo che evoca e dipinge i concetti, colui le cui idee superano i millenni, ritiene necessario addirittura un Postulato. Il Quarto Postulato che, con estrema furbizia, si pone proditoriamente vicino al chiacchieratissimo Quinto, diventando così di fatto invisibile. Proprio come un quadro appeso vicino alla Gioconda.

Si è tanto parlato del Quinto, e della sua diversa impostazione anche solo “linguistica”, se non stilistica, rispetto agli altri quattro postulati. Sembra complesso, farraginoso, artificioso; è anche il postulato che ha il maggior numero di parole – mentre il perfido Quarto è quello che ne richiede di meno – e si cita spesso il fatto che lo stesso Euclide sembri evitare il più possibile di usarlo. Le prime ventotto proposizioni dei suoi Elementi passano infatti silenziose, senza neppure sfiorarlo. E i lettori di Euclide si sono subito chiesti se ci fosse davvero ragione d’essere, per un tale obbrobrio. E se obbrobrio può sembrare parola troppo pesante, gli antichi non è che leggessero il Quinto Postulato in maniera troppo diversa. Già Proclo [la nostra scarsa padronanza dei tempi storici ci fa immaginare gli “Antichi Greci” più o meno come tutti concittadini e contemporanei, ma non è proprio così: Euclide visse – si crede – attorno al 300 a.C., Proclo morì nel 481 d.C., quasi ottocento anni, più o meno la stessa distanza temporale che c’è tra noi e Gengis Khan] proverà a farne a meno, tentando di dimostrarlo. Teorema è parola sublime, in matematica, ma talvolta rappresenta un vero e proprio tentativo di declassamento: se fosse dimostrato, il Quinto Postulato decadrebbe da arcano inspiegabile a mero elemento di teoria (che è proprio ciò che etimologicamente significa “teorema”), e i postulati euclidei tornerebbero ad essere semplici, immediati e – soprattutto – solo quattro.

Insieme a Proclo ci proveranno Tolomeo, Wallis, John Playfair, Saccheri, Johann Lambert, Legendre, d’Alembert, Lagrange, Gauss, e moltissimi altri. E con approcci variegatissimi: dimostrazioni (sbagliate), definizione di postulati equivalenti (a centinaia), e chi più ne ha più ne metta. Tra i molti tentativi di dimostrazione, un passo essenziale fu fatto proprio dal gesuita italiano Giovanni Girolamo Saccheri: la sua opera più importante si intitola “Euclides ab Omni Naevo Vindicatus”, è del 1733, e già dal titolo mostra che il Quinto Postulato era davvero considerato una macchia immonda nel capolavoro euclideo. La sua originalità – almeno rispetto agli autori precedenti – sta proprio nell’avere applicato il celebre metodo di dimostrazione per assurdo al Quinto Postulato. Supponendo “non valido” il postulato, si avventurò nell’esplorazione della geometria per scoprire a quali contraddizioni si arrivasse sotto una tale avventurosa condizione. Nel percorso che compì, arrivò tra l’altro a concludere giustamente che il Quinto Postulato era assolutamente equivalente all’affermazione che la somma degli angoli interni d’un triangolo equivale a due angoli retti; e una volta giunto al termine della sua opera, ritenne di aver ricondotto a mero teorema il postulato euclideo, vista l’evidente assurdità che la sua assenza comportava. In realtà, l’opera di Saccheri è oggi vista come una dei primi trattati di legittima, e non “assurda”, geometria non-euclidea.

Il primo matematico a capire che il Quinto Postulato euclideo era necessario solo perché in sua assenza “altre geometrie” sarebbero state possibili fu l’ungherese Janos Bolyai. Nato il 15 Dicembre 1802 a Kolozsvar [luogo che ci mette un po’ in imbarazzo per quanto riguarda l’attribuzione della nazionalità del nostro protagonista: ai tempi di Bolyai, era città pienamente ungherese, ma ai tempi nostri si chiama Cluj, ed è in territorio rumeno], era figlio di Farkas Wolfgang Bolyai, quello che con buona approssimazione si può definire “il miglior amico” di Gauss. Farkas e Gauss erano stati compagni di studi, e la situazione del piccolo Janos era ben definita fin dalla nascita; era figlio di un buon matematico strettamente legato al miglior matematico del mondo, e suo padre voleva farlo diventare matematico: non c’erano vie di fuga possibili. Va però riconosciuto a Farkas di non essere stato uno di quei genitori ossessionati dall’idea di avere un figlio prodigio; anzi, visto che faceva suo il motto romano “Mens sana in corpore sano”, e poiché riteneva che la matematica fosse una prova troppo severa per una mente che non risiedesse in un corpo più che perfetto, si impiegò per fare in modo che il giovane Janos non si curasse troppo della scienza dei numeri da bambino, ma piuttosto si preoccupasse di crescere sano e forte. Un buon senso di protezione paterna che si ritrova anche quando Janos è ormai un giovane libero di affrontare le croci e le delizie della geometria: un amorevole e paterno consiglio dato da Wolfgang al suo erede suona più o meno così:

“Sta lontano dal problema delle parallele, figlio mio: al pari delle passioni amorose, è in grado di assorbire tutto il tuo tempo e di rovinarti la salute, di toglierti serenità e felicità”.

Come la maggior parte dei buoni consigli paterni, anche questo verrà accuratamente disatteso. Janos Bolyai si interesserà eccome delle “parallele”, anche se bisogna riconoscere che gli renderanno la vita difficile. Appena ebbe superata la fanciullezza, suo padre scrisse a Gauss pregandolo di prendere il giovane Janos presso di sé; il sommo matematico di Brunswick, però, rifiutò l’offerta dell’amico. Il quattordicenne si trovò allora di fronte ad un problema considerevole: aveva intenzione di soddisfare i desiderata paterni che lo volevano matematico, ma la terra d’Ungheria era a quei tempi lontana dai centri di eccellenza della matematica europea. Come succedeva spesso a quei tempi e in quelle condizioni, l’unica alternativa accettabile era quella dell’educazione militare, e Janos Bolyai entrò all’Accademia Militare di Vienna.

In questa sede Janos mostra subito di non essere un tipo qualunque: coltiva il suo eterno amore per la matematica, ma l’idea di suo padre di curarne prima di tutto la salute e forma fisica dà ora i suoi frutti. Janos diventa rapidamente molto popolare come sportivo, eccellendo in tutte le forme di agonismo; brilla come suonatore di violino e, inevitabilmente, come “tombeur de femmes”. Sport, musica e donne: un po’ il sogno di ogni studente universitario dei tempi nostri; ma a dimostrazione del fatto che il nostro riuscisse ad armonizzare bene il dovere e il piacere c’è da notare come il corso di laurea che prevedeva sette anni per essere completato fu bruciato dal nostro in appena quattro. Un celebre aneddoto rammenta di come riuscì a sfidare a duello tredici ufficiali in una sola giornata, vincendoli tutti; e tra un duello e l’altro si rilassava suonando il violino. Sembra uscirne un ritratto molto più simile a quello di un James Bond ante litteram che a quello classico d’uno studioso di matematica.

Ma fu proprio la sua scienza ad essere un po’ matrigna con lui: a differenza di quanto fece Saccheri, Bolyai si rese ben conto che una nuova geometria era possibile rinunciando al Quinto Postulato. Scrisse al padre una lettera piena d’entusiasmo “…dal nulla ho creato un nuovo, strano universo…” anche se va riconosciuto che il suo capolavoro fu soprattutto proprio quello di “intuire” l’esistenza di geometrie non euclidee, non quello di svilupparle compiutamente. Pubblicò una “Appendice” al Tentamen in cui espose questa sua scoperta nel 1832, ma questa primogenitura gli fu in parte sottratta da due studiosi: uno di questi fu proprio il sommo Gauss amico di suo padre. Tra le migliaia di argomenti oggetto dei suoi studi, il grande tedesco dichiara di aver affrontato a suo tempo anche le geometrie non euclidee “ricavandone grande soddisfazione…”. Bolyai prese davvero male la scoperta che le sue creazioni erano state anticipate da Gauss: divenne irritabile e astioso, e, forse, si sentì anche colpito in qualche modo dalla nemesi dell’avvertimento paterno. Ma i suoi dispiaceri non erano ancora terminati.

Soltanto nel 1848 Janos Bolyai scoprì che un matematico russo aveva pubblicato nel 1829 un’opera che anticipava le sue scoperte (trattandole anche con una maestria e completezza superiori). Lo studioso si chiamava Nikolaj Lobachevsky, e Bolyai non aveva mai sentito parlare di lui. Anzi, la sua prima, isterica reazione fu proprio quella di pensare Lobachevsky come “non esistente”, ritenendolo una sorta di invenzione, di “nom de plume” dello stesso Gauss.

Ma Nikolaj esisteva davvero: nato il 1 Dicembre 1792 a Nizhni Novgorod, passò la sua vita quasi interamente all’Università di Kazan, dove entrò come studente nel 1807 e da dove uscì come rettore nel 1846. Gorky, Kazan e la Russia erano ancora matematicamente più periferiche di quanto lo fosse l’Ungheria, ed è curioso notare questa coincidenza che vede la “rivoluzione della geometria” maturare lontano dai centri accademici, come se un nuovo vento avesse bisogno di arrivare da orizzonti lontani.

In ultima analisi, non è ancora del tutto chiara la successione degli eventi, e la reale primogenitura delle geometrie non euclidee è davvero di difficile attribuzione: un po’ perché – come si è visto – in qualche modo già dai tempi di Saccheri si era affrontato il problema; un po’ perché la geometria iperbolica di Bolyai e Lobachevsky è solo una delle geometrie possibili (quella sferica di Riemann seguirà cronologicamente, ma non certo per importanza); infine, perché è davvero complicato stabilire quale fu il ruolo di Gauss.

A nostro parere, la migliore descrizione degli eventi l’ha data proprio Janos Bolyai, con la sua più celebre frase: “Le scoperte matematiche sono come le viole nei boschi: hanno i loro propri tempi, che nessun essere umano può ritardare o affrettare”.

E se questo è vero, può anche darsi che i tempi non siano ancora sufficientemente maturi per appurare fino in fondo quali siano state le ragioni che hanno indotto Euclide a scrivere il Quarto Postulato. Del Quinto, sappiamo ormai tutto… ma cosa potrebbe mai accadere, se decidessimo di violare il Quarto?

Categorie: Le Scienze - Matematica

Calendario!

Rudi matematici - Mar, 12/13/2011 - 07:00

Tempo di calendari.

Adesso non state lì a dire che non vi servono, che ne avete già diciotto per stanza. Tanto lo sapete, nessuno è come il nostro. Non ha sopra la pubblicità del salumiere sotto casa. Non è fatto di carta lucida coi buchini per strappare i fogli. Non ha fanciulle o fanciulli spogliati. Non ha fasi lunari, non riporta santi: ma è pieno zeppo di nomi.

I Rudi Matematici (specie nella loro versione con l’acca – Rudi Mathematici)  di calendari ne fanno uno all’anno (anzi, due), e quello del 2012 è fresco fresco e pronto per essere scaricato ed appeso in qualche posizione strategica dell’ufficio o della casa.

Per quelli che ancora non hanno familiarità con i nostri calendari (ma com’è possibile? Ne avevamo parlato già l’anno scorso, e l’anno prima ancora, e…) il nostro manca di molte cose, come dicevamo all’inizio, ma è ricco di altro.

Così, orsù, scaricatelo anche solo cliccando sulla figura qui a destra. Non siamo mai stati bravi a fare affari, e infatti è gratis. Volete la versione inglese? Gratis pure quella. E senza pubblicità. Siamo un vero disastro, nella società dei consumi.

A questo punto dovreste sapere tutti che i Rudi non solo amano i calendari e ne producono uno ogni anno, ma sono anche auto-proclamati esperti su tutte le amenità possibili ed immaginabili a riguardo, ed ultimamente portano in giro una conferenza a riguardo.

Così, sanno benissimo in che periodo dell’anno ci troviamo. E quindi, visto che sanno anche benissimo che si dimenticano facilmente le cose, gli auguri ve li fanno adesso, in anticipo.

Buone Feste, gente.

Categorie: Le Scienze - Matematica

Frazioni continue aritmetiche

Rudi matematici - Sab, 12/03/2011 - 07:00

D’accordo, il titolo dice quasi tutto. Ogni tanto bisogna pur fare un sano bagno nella teoria, no? Lasciatemi però premettere che alcune dimostrazioni, da queste parti, sono oltremodo noiose e quindi ve le risparmio; se non ci credete, comunque, sempre pronto… (in caso d’emergenza, rompere il vetro con scritto sopra “induzione“).

Notazioni

Si definisce frazione continua l’espressione:

e, nel caso b1=b2=…=1, l’espressione si definisce frazione continua aritmetica.

Una frazione continua aritmetica (per evitare incubi al tipografo del blog, che ancora deve riprendersi dalla fatica causatagli dal nuovo look) si scrive nella forma:

E adesso, qualche teoremino.

Calcolo

Teorema 1.1 Ogni frazione continua aritmetica limitata è un numero razionale. Viceversa, ogni numero razionale p/q si può esprimere come frazione continua aritmetica limitata; con l’eccezione indicata nel punto successivo, questo sviluppo è unico.

Se uno sviluppo è finito, effettuando i calcoli a ritroso è sempre possibile riportare il tutto ad una frazione ordinaria. Viceversa, sia p/q una qualsiasi frazione (q>0); dividendo p per q, si ottiene

In cui a1 è l’unico intero per il quale il resto r1 è maggiore o uguale a 0 e minore di q. Se r1=0 e lo sviluppo vale [a1]. Se r1 ≠ 0 allora

Dividendo nuovamente, si ha:

Il primo membro è una frazione positiva, quindi a2 è l’unico intero positivo per cui il resto r2 è compreso tra 0 e r1. Proseguendo in questo modo, il procedimento termina quando ottengo un resto rn=0. Ora, i resti costituiscono una successione decrescente di interi non negativi: q> r1>r2>…>rn sicuramente limitata. Da cui, ripescando tutti i valori:

[1]
Sviluppando l’inversa, si ha:

Teorema 1.2 Ogni numero razionale si può esprimere mediante una funzione continua aritmetica limitata nella quale l’ultimo termine può essere modificato in modo che il numero dei termini dello sviluppo sia pari o dispari.

Infatti, dall’identità sull’ultimo termine dello sviluppo

si può sostituire lo sviluppo [1] con lo sviluppo

Che ha un termine in più della [1]. Nel caso particolare in cui sia an=1 si ha

e quindi l’espressione diventa:

Che ha un termine in meno della [1].

Ridotte

Dato uno sviluppo in frazione continua aritmetica [a1,a2,...an], formiamo le frazioni:

e avanti in questo modo, generando le varie ridotte della frazione originaria; l’n-esima ridotta è uguale alla frazione continua medesima. Le approssimazioni delle ridotte vengono indicate con la notazione

.
Teorema 2.1 I numeratori e i denominatori delle ridotte di una frazione continua soddisfano le uguaglianze

[2]
con i valori iniziali

Questa non ve la dimostro… È lunga, noiosa e scarsamente soddisfacente. Dal punto di vista pratico, imponendo i valori:

[3]
si giunge allo stesso risultato. Il calcolo di solito viene effettuato tabulando i valori; ad esempio,

Si ricava:

In cui la parte in grassetto è calcolata attraverso le [2] e [3]. Per verificare di aver fatto correttamente il calcolo, l’ultima delle ridotte deve coincidere con la frazione originale.

Teorema 2.2 Dato uno sviluppo in ridotte, è:

…che, anche se sembra di un’inutilità quintessenziale, assumerà la sua importanza quando meno ve l’aspettate.

Curiously and Curiously!

Per “far di calcolo”, un metodo divertente è quello che segue, con la stessa frazione di prima:

Sì, lo so, non è molto chiara… Provateci voi, a fare una divisione “a manina” usando un misero word-processor.

In sostanza, divido 120 per 49: quoto 2, resto 22. Prendo il divisore di prima (49) e lo divido per il resto ottenuto (22): quoto 2, resto 5. …E avanti così, sin quando non ho resto 0; i quoti (oh, stupore!) sono i termini dello sviluppo in frazione continua aritmetica.

Se l’utilità delle frazioni continue si fermasse a quello che abbiamo visto fin qui, va bene, Rudy è rincretinito, spiace (mica tanto) ma andiamo avanti. In realtà, ci sono un paio di utilizzi niente male; questa volta, ve ne spiego uno (l’altro lo troverete sotto altro titolo…).

Radici Quadrate

Non so voi, ma io ho sempre avuto dei problemi immani a calcolare le radici quadrate. Consideriamo un numero abbastanza balordo, ad esempio la radice di quindici; bene, vorremmo portarci dietro un valore più comodo, senza star lì ad estrarre la radice… Cominciamo con una prima, brutale approssimazione: l’intero minore del valore dato è 3, quindi possiamo scrivere:

Ossia

[4]

In cui nel primo passaggio moltiplichiamo per 1 e nel secondo trasformiamo il tutto in prodotto notevole (questo spero ve lo ricordiate…). Sempre tagliando per i campi, il risultato è (intero minore più vicino) circa 1. Allora, possiamo dire che

Ossia, sostituendo il valore trovato precedentemente,

che diventa (i calcoli sono lasciati come esercizio al lettore: portate “1″ sulla frazione e invertite):

che vale, suppergiù, 6. Ancora un passaggio, dai:

Con il solito blablabla ottengo:

…E adesso qualcuno tenga fermo Rudy mentre gli altri lo pestano: è lo stesso risultato ottenuto con la [4]! Già; infatti,

Teorema 3: Lo sviluppo della radice di un irrazionale in frazione continua aritmetica è periodico.

In pratica, nel nostro caso:

No, non ve lo dimostro: comunque, il metodo funziona anche per irrazionali più balordi (non per i trascendenti, sorry…). Se però ci limitiamo alle radici degli interi, c’è un altro grazioso teorema che (se siete abbastanza folli) vi risparmia grosse grane di memorizzazione:

Teorema 4: Nello sviluppo in frazione continua aritmetica della radice di un intero, l’ultimo numero del periodo è il doppio del primo numero e il periodo (con l’esclusione dell’ultimo numero) è simmetrico.

Ossia, genericamente:

Anche per questo teorema, la dimostrazione è la quintessenza della noiosaggine; quindi, accontentatevi dell’enunciato. E se non vi accontentate, dimostratevelo da soli, no?

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Il problema di Novembre (519) – La carta (anzi il dado) dei vini

Rudi matematici - Lun, 11/28/2011 - 06:00

Beh, sta arrivando Dicembre, mese che è solito finire con feste, cene e regali. Tanto per contraddistinguerci, abbiamo giocato un po’ d’anticipo, visto? Eccoci qua tutti e tre, tirati a lucido prima del tempo, a far finta d’essere persone serie. Poi, siccome siamo fortunati, capita che le coincidenze abbiano giocato a nostro favore: vi sarete accorti, nevvero, che anche il blog ha cambiato di recente il suo look?

Quello che invece non è cambiato – e, perdincibacco, speriamo che non cambi ancora per un po’ – è che a fine mese torna l’appuntamento rituale con la soluzione al quiz mensile pubblicato su Le Scienze. E allora orsù, si va a cominciare…

Il problema, abbastanza facile da riassumere:

I Rudi devono scegliere tra otto vini e hanno solo un dado a sei facce: qual è il modo migliore utilizzando il numero minore di lanci possibile?

Le soluzioni dei nostri amati lettori sono state a milioni, evidentemente il problema era troppo facile….

Prima di tutto il trucco alla Beppe Gim, arrivato ad inchiostro su LS ancora fresco:

Le otto bottiglie sono disponibili? Bene. Alice le mette sul tavolo in cerchio, diciamo ai vertici di un ottagono regolare, accostandole come meglio possibile.
Si alza, prende il dado con due dita, e ad occhio lo posiziona sulla verticale del centro del cerchio, tra i colli delle bottiglie; poi lo lascia cadere…. Il dado cadendo certamente non rimane al centro, e certamente si fermerà più vicino ad una delle bottiglie: questa è la prescelta. E’ difficile che si fermi ad ugual distanza da due bottiglie.
Le otto bottiglie non sono disponibili? Bene. C’è una lista, su cui Alice numera da 1 a 8 le bottiglie. Poi, prende il piatto che ha davanti, e col suo stick di rossetto disegna quattro diametri, passando per il centro e cercando di fare uguali gli otto settori, che numera da 1 a 8. Poi prende il dado e, come prima, lo fa cadere lungo la verticale per il centro (ma da una altezza piccola, se no schizza fuori): il dado si ferma in uno dei settori, il cui numero indica la bottiglia da stappare.
Se vogliamo evitare che il dado schizzi fuori, Alice mette il dado al centro, dove si incrociano i diametri. Poi copre il piatto con un altro piatto rovesciato, agita un po’, lo rimette sul tavolo, e lo scopre…. e poi è come prima. Ma in questo caso Rudy è più contento, perchè una signora non deve mettersi a lanciare dadi sui tavoli come una giocatrice dostoievskjiana. Più casuale di così , come la roulette , non si può.

Ecco, Alberto R., invece, ci scrive:

Prob = 1/8 con un dado a 6 facce? Facile con tre lanci. Basta considerare, ad ogni lancio, solo la parità del numero che è uscito. Le possibili terne ordinate di due elementi (pari/dispari) sono 8 e sono equiprobabili.
Con un solo lancio occorre considerare, oltre al numero “uscito”, cioè quello sulla faccia orizzontale superiore, anche i 4 numeri sulle facce verticali. Scelto preventivamente uno di essi (ad esempio il più piccolo) si controllerà verso quale lato del tavolo (o parete della stanza se il tavolo è tondo) la sua faccia è approssimativamente rivolta. Queste 4 possibilità, combinate con le 6 del numero uscito, formano 24 casi equiprobabili che possono essere divisi in 8 gruppi da 3.
Occorre, però, un accorgimento: dopo il lancio, senza guardare e servendosi solo del tatto, il dado sarà ruotato in modo da evitare situazione equivoche cioè orientamenti prossimi a 45 gradi. Mi immagino la scena: Alice che a occhi chiusi spazzola la tavola imbandita con le mani rovesciando i calici, alla ricerca del dado schizzato chissà dove, e il sommelier che pensa “questa si è ubriacata solo a sentir parlare di vino!”. No, meglio con tre lanci!

In questo modo tocca proprio il primo metodo suggerito da Alice, niente male. Per quanto riguarda Carlo il Grande, beh, lui ci ha scritto un’intera storia:

Non ci potevo credere! Eppure la descrizione del sommelier era così precisa: baffetti alla David Niven, ristorante di classe, ecc.
Alla fine mi sono deciso a contattare quel mio amico che fa il sommelier e così simile alla descrizione; non lo sentivo da un bel po’ di tempo.
Dopo i saluti e reciproci aggiornamenti sulle attività e famiglie, sono arrivato al dunque e gli ho chiesto se, per caso, gli fosse capitato di consigliare otto vini, tutti egualmente ottimi, per il secondo che un terzetto di avventori, due giovanotti e una signorina, avevano ordinato.
Risposta: sì, e la procedura per la scelta era risultata così inusuale ai suoi occhi che se la ricordava benissimo: il giovanotto con gli occhiali (Piotr) aveva preso in mano un dado che l’altro giovanotto (Rudy) aveva messo sul tavolo. Girava e rigirava il dado finché, ad un certo momento, gli aveva chiesto la lista degli otto vini, aveva preso una penna e aveva cominciato a scrivere dei numeri a fianco di ogni vino.
Dopo, sottovoce, aveva parlato con la signorina (Alice) che, via via, si rischiarava in viso e sorrideva sempre di più.
La signorina aveva preso il dado dalle mani di Piotr e, con gesto teatrale, lo aveva lanciato sul tavolo, lo aveva osservato attentamente e, dopo un’occhiata veloce alla lista dei vini, aveva esclamato ad alta voce:
“Questa sera berremo del Barolo del 2004!”.
Il mio amico, stupito, aveva pensato bene di scattare una foto col cellulare al dado che era al centro della tavola e aveva portato via la lista degli otto vini proposti per quella cena e si era allontanato per andare a prendere il Barolo in cantina.
Ovviamente ho chiesto al mio amico di inviarmi copia della lista dei vini e della foto del dado e allego questi due documenti.
Dalla lista dei vini si capisce che Piotr aveva avuto l’idea di collegare ogni vino ad un vertice del dado.
Per identificarli, aveva annotato a fianco di ogni vino, i numeri delle facce che convergono su di un vertice, dopo essersi assicurato che si trattasse di un dado normale ovvero le cui facce opposte sommate danno 7.
Alice aveva lanciato il dado e visto che le facce del vertice più vicino erano 3, 5 e 6. Dalla lista aveva ricavato la corrispondenza con il Pio Cesare (buona scelta !)

Incredibile… no, la lista dei vini la teniamo per noi. Tante, dicevamo, le altre risposte, che andavano tutte più o meno nella stessa direzione: o la scelta di un posizionamento delle bottiglie e un lancio di dado nel settore dedicato alla bottiglia da scegliere, o la scelta di due/tre  facce o un vertice.

Non potremmo certo citare tutti, ma proviamo a nominare almeno qualcuno, per esempio Maurilio, che tra l’altro commenta:

Naturalmente si obietterà che il dado può cadere in maniera da essere esattamente equidistante fra due o più bottiglie; ma l’obiezione non tiene conto degli ormai indiscussi principii dell’enodinamica quantistica.

Principi che a noi sono chiarissimi. Grazie anche a Emanuele, Bruno, Puccio, Fabio, o Guido, che ha una buona idea per identificare il vertice:

Nessun problema di ambiguità se si dispone di una scatola parallelepipedale o di un libro da tenere aperto a circa 90 gradi, vertice o spigolo vero il basso, all’interno dei quali lanciare il dado.

Ma ancora, complimenti ad Enrico, che ha provato a descrivere il tutto con un foglio excel, e bravo a Pierluigi, che ha elencato tutte le possibilità, e anche Abramo, Marco, Sergio, Davide, Andrea, Alberto, Francesco, Camillo, Luca, Gianmarco e tutti gli altri che non abbiamo nominato anche solo per aver partecipato.

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Risorgimento!

Rudi matematici - Mer, 11/23/2011 - 07:00

Noi fummo da secoli
calpesti, derisi,
perché non siam popoli,
perché siam divisi.
Raccolgaci un’unica
bandiera, una speme:
di fonderci insieme
già l’ora suonò.
(Goffredo Mameli, Canto degli Italiani, autunno 1847)

Il forte di Bard ha uno strano fascino: e la cosa è strana, perché un forte è una costruzione essenzialmente militare, e di solito gli oggetti militari sono tutt’altro che affascinanti. Efficienti, certo: spesso ingegnosi, innovativi, magari altamente tecnologici, ma non affascinanti. È impossibile, anche riconoscendoli come un evidente prodotto dell’ingegno degli uomini, dimenticare lo scopo ultimo per il quale sono stati fabbricati: il fine distruttivo non è rimovibile, neanche dalla mera estetica dell’oggetto. Così, anche se un missile strategico armato di testate nucleari somiglia davvero tanto, sia nella forma sia nella struttura tecnologica, ad un razzo vettore di capsule spaziali, resta del tutto evidente che è assai meno bello e non solo, ovviamente, meno utile. Il forte di Bard, però, bello lo è davvero: forse per la sua natura difensiva, che in qualche modo ne attenua l’aggressività bellica, o più probabilmente per la sua magnifica dislocazione geografica, che poi è la sua stessa ragione d’essere. Il grande alveo della Valle d’Aosta ha un suo respiro netto e chiaro: il grande massiccio granitico del Monte Bianco chiude il fondo della valle e genera la Dora Baltea, che ne è l’arteria idrica; orizzontale e rettilinea, la Dora riceve tutti i perpendicolari torrenti delle meravigliose valli minori, e si dirige sicura verso l’unica uscita, dove comincia davvero la pianura. A Bard, dove potrebbe già immaginarsi lo scioglimento della valle, questa invece si restringe, e per di più un colle si erge prepotente proprio prima che la Vallèe si apra verso il resto d’Italia. E su quel colle insolito e ripido (quasi un tappo geologico messo a chiudere la porta) è evidente, perfino a chi non è minimamente versato nelle logiche della strategia, che un pugno di uomini ben piazzati può tenere a bada un intero esercito. E il forte di Bard era infatti un problema serio anche per i migliori soldati del mondo, quando decidevano di arrivare nella pianura padana passando lungo il corso della Baltea: e per la stessa ragione, il forte di Bard è sempre stato  (almeno fin quando le guerre si combattevano con fanti, cavalli e cannoni trasportati a fatica su carri con ruote di legno) un presidio militare importante per il Regno di Sardegna.

Importante, e anche comodo per scopi politici. Una fortezza di prestigio, ma distante dalla capitale del regno e ragionevolmente isolata, è un buon posto per i rampolli della nobiltà che nutrono eccessivi sentimenti di ribellione. In piena restaurazione post-napoleonica, l’Austria dominava il Lombardo-Veneto, che era allora territorio integrante dell’impero austriaco, e controllava politicamente e militarmente gran parte del resto dell’Italia. Quando Carlo Alberto di Savoia divenne re nel 1831, i suoi sentimenti anti-austriaci alimentarono volontà di indipendenza in molti giovani aristocratici che sognavano di liberarsi dal giogo di Vienna. In questo clima, la fortezza di Bard era un ottimo posto dove le autorità conservatrici potevano isolare, per compiacere gli Absburgo senza troppi incidenti diplomatici, giovanotti in carriera militare dallo spirito troppo indipendente. Un giovane ufficiale del Genio che era a capo del forte di Bard riuscì a tornare a Torino solo nel 1831, per iniziare una brillante carriera politica e diplomatica che lo avrebbe condotto a diventare il primo Presidente del Consiglio dei Ministri del Regno d’Italia, oltre che uno dei maggiori artefici del Risorgimento italiano. Camillo Benso, conte di Cavour, con ogni probabilità era davvero contento e pieno di progetti, in quel mattino in cui consegnò al suo successore il comando della fortezza, deciso a cominciare seriamente a costruire una nazione quasi dal nulla. E d’altra parte anche il nuovo comandante del forte era una testa un po’ calda, mandato in isolamento perché inviso ai potenti austriaci: quindi i due, con ogni probabilità, si trovavano simpatici.

Curiosamente, anche questo suo successore nel comando della fortezza sarebbe diventato, pochi anni dopo di lui, Presidente del Consiglio dei Ministri del Regno. E ancora più curiosamente, l’ufficiale che sostituì il conte di Cavour e che ne avrebbe seguito le tracce militari e politiche era un matematico.

Un quarantotto: si dice ancora, si ritrova nei dizionari come parola con piena dignità di significato: significa “grande confusione, baccano, parapiglia, putiferio”, e a pensarci bene è davvero insolito che un numero, o quantomeno il nome di un numero, sia assurto ad una tale specificità semantica. All’origine del significato c’è naturalmente un anno: quel 1848 che è senza dubbio l’anno più rivoluzionario della storia d’Europa e forse del mondo. La chiamarono Primavera dei Popoli, e la maniera migliore per riassumerla è forse un elenco al negativo: Inghilterra, Olanda, Russia e Impero Ottomano sono le sole nazioni europee non attraversate dall’ondata rivoluzionaria. Tutte le altre ne furono, in diversa misura, colpite. E non solo in Europa: si infiamma anche il Sudamerica, con il Brasile e la Nuova Granada, stato che durò in tutto meno di trent’anni che comprendeva la Colombia, Panama, e parti di Ecuador e Venezuela. La Francia rinnova il suo spirito rivoluzionario, la Danimarca cambia costituzione e ordinamento, l’Impero Austriaco vede esplodere sommosse in ogni sua parte. E le origini sono molte e diverse, si coagulano movimenti sia liberali sia radicali, sia giacobini sia borghesi, sia popolari: in molti casi, ad alimentare le rivolte e le rivoluzioni è proprio ciò che Klemens von Metternich più aveva in odio, essendo lui il guardiano e il simbolo di un impero che riuniva molti popoli: lo spirito nazionalistico. E infatti è proprio in Germania e in Italia che il Quarantotto risuona più forte che altrove, proprio perché quelle due nazioni sono ancora frammentate in piccoli stati separati; e forte era in molti dei loro abitanti la volontà di unità e di indipendenza nazionale.

E infatti in Italia il Quarantotto si affianca, quasi si identifica, nella memoria comune, con quella che gli italiani chiamano Prima Guerra di Indipendenza. Le prime e più violente rivolte del Quarantotto italiano esplodono in Sicilia, contro i Borboni: anche se per qualche strano motivo l’evento è poco esaltato dal comune sentire risorgimentale, quasi fosse poco noto, nel gennaio del 1848 in Sicilia si forma uno stato indipendente, sfuggito di mano ai Borboni. Stato che si dà una costituzione avanzatissima per l’epoca e resiste per sedici mesi alla restaurazione di Ferdinando II. Ma sono le rivolte contro l’Austria, la potentissima Austria, quelle che fanno più scalpore: rivolte che presero slancio e vigore anche sull’esempio dei trionfi rivoluzionari siciliani. Insorge Venezia, insorge Milano, fino alla dichiarazione di guerra del Piemonte all’Austria.

Il 17 marzo 1848 [la celebrazione di quest’anno che ha visto 17 marzo assurto a festa nazionale ricorda però il 17 marzo 1861, quando fu proclamato il Regno d’Italia: curiosa, comunque la coincidenza di date, che fa di questa una giornata decisamente patriottica] insorge Venezia, che si costituisce in stato indipendente da Vienna col nome di Repubblica di San Marco: il giorno successivo, il 18, comincia la rivolta milanese delle Cinque Giornate.

A Milano, uno dei viali più importanti e maestosi della città si chiama “Corso XXII Marzo”: sono molti i turisti, i non milanesi che si lambiccano il cervello nel tentativo di ricordare cosa abbia di significativo quel giorno. Immaginiamo che tale dubbio non sia presente negli abitanti del capoluogo lombardo, anche perché Corso Ventidue Marzo è la prosecuzione di Corso Porta Vittoria, che è nome ancora più esplicito; e Porta Vittoria, non certo a caso, troneggia su Piazza Cinque Giornate. Dal 18 al 22 marzo Milano insorge contro gli austriaci, e le sue strade si popolano di tricolori e barricate. Tra i molti che combattono su quelle barricate, c’è anche un ventitreenne milanese purosangue: un matematico.

Radetzky si ritira, richiudendosi nel Quadrilatero: appena due giorni dopo, il re di Sardegna Carlo Alberto dichiara la guerra e varca il Ticino, fiume di frontiera. Gli scontri cominciano subito e si susseguono: ad inizio Aprile la battaglia di Ponte di Goito, verso la fine dello stesso mese la vittoria di Pastrengo. Dopo altre scaramucce attorno alle postazioni difensive degli austriaci asserragliati nelle piazzeforti di Mantova, Verona, Peschiera e Legnago, il 29 maggio si combatte la battaglia di Curtatone e Montanara. La battaglia dal duplice nome e dal duplice luogo risulta favorevole agli Austriaci, ma ha il gran risultato di consentire all’esercito piemontese di riorganizzarsi, rendendo così possibile, il giorno successivo, la vittoria nello scontro di Goito; infatti, a Curtatone e Montanara non è il regolare esercito sabaudo che affronta i soldati di Vienna, ma bensì un’armata formata dall’esercito regolare del granduca Leopoldo II di Toscana (che aveva concesso la costituzione il 17 febbraio, ed era particolarmente innovativa per il tempo: fu la prima a riconoscere pienezza ed uguaglianza di diritti a tutti i cittadini di qualsiasi religione), da battaglioni dell’esercito del Regno delle Due Sicilie e da gruppi di volontari toscani e napoletani. In particolare, i volontari toscani sono essenzialmente studenti universitari di Pisa, Livorno, Siena e Prato, guidati dai loro stessi professori. Tra gli studenti pisani c’è anche un caporale ventiquattrenne: un matematico.

Ma l’eroismo dei volontari non basta a vincere la guerra: a Custoza gli austriaci mostrano tutta la loro capacità di controffensiva, chiudendo a loro vantaggio la prima fase della guerra. Poi verrà il 1849, e nuovi scontri, fino a quello definitivo di Novara, che costringe Carlo Alberto alla capitolazione.

L’insurrezione di Venezia, tra le prime a sbocciare nei primi mesi del ‘48, dura fino al 23 Agosto del 1849. A difenderla strenuamente dall’assedio che le bianche truppe austriache del feldmaresciallo Radetzky conducono con spietata perizia, fortemente aiutate anche da un’epidemia di colera, ci sono molti eroici giovani venuti da ogni parte d’Italia, tra cui spiccano i napoletani Gugliemo Pepe e Girolamo Ulloa, che combattevano in difesa della repubblica voluta dai veneziani Daniele Manin e Nicolò Tommaseo. Tra questi volontari c’è anche un valoroso soldato di Pavia, che si è guadagnato proprio sui bastioni veneziani la nomina a sergente: non ha neppure diciott’anni, e certo ancora non sa che diventerà Ministro delle Pubblica Istruzione del prossimo Regno d’Italia. È un matematico.

Dovrà passare ancora un decennio, prima che il ritorno di fiamma del 1859 e 1860 veda il nuovamente l’Italia armarsi per liberare sé stessa: ma è tutt’altro che un decennio tranquillo. Sono anni di ribellioni e repressioni, di complotti e insurrezioni. Nel 1856, un brillante ma povero studente del prestigioso collegio Ghisleri di Pavia finisce espulso a causa delle sue idee risorgimentali. Rischia il futuro e forse anche la fame, ma per fortuna riuscirà a trovare lavoro e poi a rientrare nel mondo accademico: è un matematico.

Nel maggio 1859, forte dell’alleanza con Napoleone III, imperatore di Francia, una nuova campagna parte dal Piemonte per liberare la Lombardia, accendendo quella che gli Italiani chiamano Seconda Guerra d’Indipendenza. Si susseguono le battaglie di Montebello, Pastrengo, Magenta, mentre i Cacciatori delle Alpi di Giuseppe Garibaldi liberano Como e Varese. L’imperatore d’Austria, Francesco Giuseppe, prende il comando per scendere direttamente in campo per la prima e ultima volta: e vede con i suoi occhi il massacro di Solferino, dove molte delle bianche divise austriache si coprono di sangue. La battaglia di Solferino, per quei tempi, fu veramente sanguinosa. Sembra che Francesco Giuseppe stesso, dopo quell’esperienza, avesse abbastanza orrore delle battaglie e della guerra, anche se, forse controvoglia, ne dichiarò altre durante il suo lungo regno, fino alla stessa Grande Guerra. Fu la più grande battaglia dell’epoca dopo quella di Lipsia che segnò la fine di Napoleone, con più di 200’000 soldati sul campo. Sempre il triste spettacolo di Solferino fu la causa – per una volta benemerita – della fondazione della Croce Rossa da parte dello svizzero Henry Dunant.

Il Lombardo-Veneto torna ad essere in mani italiane, ma per giungere all’unificazione d’Italia occorrono ancora molte altre avventure: l’incredibile impresa dei Mille, un florilegio di plebisciti a favore dell’unificazione al Regno di Sardegna, l’abbattimento delle ultime resistenze. Infine, l’assedio alla cittadella di Gaeta, che cadrà solo il 13 Febbraio 1861. Tra le ultime operazioni militari di grande respiro che portano alla resa del regno delle Due Sicilie, l’assedio di Gaeta è quella di maggiore valenza strategica e che pone di fatto definitivamente fine alla guerra, perché è a Gaeta che si trova personalmente tutta la famiglia reale di Francesco II di Borbone. Dal punto di vista strettamente cronologico, però, più di Gaeta resistettero la Cittadella di Messina, che cade il 12 marzo, e quella di Civitella del Tronto, che si arrende solo il 20 marzo 1861, tre giorni dopo la proclamazione del Regno d’Italia. A guidare le trattative per la resa, da parte piemontese c’è un generale che aveva partecipato anche alla campagna di Lombardia del 1859. È lo stesso ufficiale che trent’anni prima aveva preso a Bard le consegne da Cavour: nel frattempo ha fatto molta carriera, sia dal punto di vista militare e politico, sia da quello scientifico. Del resto, lo sappiamo già: è un matematico.

Il Risorgimento italiano è un evento così vasto e complesso che è davvero impossibile ridurlo ad un articolo veloce: in fin dei conti, è pur sempre un lungo pezzo di storia disegnato più dalla diplomazia e dalla politica che dagli scontri militari; e più dai sogni e dai sentimenti degli uomini che lottavano per l’ideale d’una patria unita che dalla politica e dalla diplomazia. I pochi episodi citati sono tenuti insieme da un pretesto narrativo, quello del contributo dei matematici all’Unità d’Italia, e non certo da una metrica di importanza storica; eppure è curioso notare come, pur in un riassunto così scarno e selettivo, sia possibile lo stesso leggere una sorta di atmosfera generale e complessiva di mobilitazione, di dedizione.

Il matematico che prende il posto di Cavour al forte di Bard, che partecipa poi come tenente generale alla campagna lombarda della Seconda Guerra di Indipendenza e che conduce le trattative per la resa della fortezza di Gaeta è Luigi Federico Menabrea.

Nato a Chambery il 4 settembre 1809, morirà nei pressi della natìa casa nell’Alta Savoia il 24 maggio 1896. A dire il vero, chiamarlo “matematico” è forse violare l’esattezza storica, visto che la sua formazione è prevalentemente dedicata all’ingegneria, e in particolare a quella militare.

Ministro della Marina nel governo Ricasoli, ministro dei Lavori Pubblici in quello Farini-Minghetti, dirige poi come Presidente del Consiglio ben tre governi successivi, dal 1867 al 1869. Contribuisce certo al Risorgimento, come si è visto, ma è bene ricordare anche che il Risorgimento è tutt’altro che un periodo caratterizzato dall’unità di intenti e di obiettivi: persino Mazzini e Garibaldi si guardano spesso in cagnesco, e Menabrea, la cui fedeltà andava probabilmente alla corona sabauda prima ancora che al neonato stato italico, è tra coloro che cercò di impedire a Garibaldi la presa di Roma.

Come matematico, ha un ruolo fondamentale nell’invenzione da parte di Babbage della Macchina Analitica: e fu proprio Ada Lovelace a far conoscere gli studi dell’italiano al matematico inglese.

Il ventiquattrenne che si arrampicava sulle barricate milanesi nel marzo del Quarantotto è Francesco Brioschi, nato il 22 dicembre 1824 proprio a Milano e morto il 14 dicembre 1897 nella sua città natale. Quando, nel 1859, in previsione dell’Unità ormai prossima, Cavour lo incarica di progettare una riforma per la scuola superiore, si ritrova come collega Giuseppe Verdi, che ha ricevuto un incarico nella medesima commissione. Dal 1861 al 1862 è Ministro dell’Istruzione del regno, e fonda il Politecnico di Milano.

Sia nella sua proposta di riforma della scuola secondaria, sia nella sua azione di ministro, Brioschi cerca di seguire i modelli dell’istruzione scientifica tedesca: questo testimonia che era stato influenzato sensibilmente da un viaggio, davvero di cruciale importanza nella storia della matematica italiana, che aveva intrapreso nel 1858 con altri matematici italiani a Parigi, Berlino e Göttingen, dove aveva anche conosciuto Riemann.

Si interessa delle funzioni dei gruppi abeliani ed ellittici, della matematica applicata all’idraulica, e soprattutto della teoria dei determinanti: la sua opera sull’argomento riscuote l’ammirazione entusiasta di Hermite. È uno dei maggiori rappresentanti della prima generazione di matematici italiani, eppure dice di sé stesso “Sono solo un calcolatore”. Un calcolatore che dimostra per via analitica i risultati ottenuti in maniera meno rigorosa da Möbius e da Jacobi e che, come politico ed educatore, si preoccupa di diffondere l’opera di Euclide nelle scuole, e di fare in modo che sia pubblicato il Codice Atlantico di Leonardo da Vinci, allora ancora ignoto alla comunità scientifica.

Il caporale ventiquattrenne volontario nella battaglia di Curtatone e Montanara è Enrico Betti. Nato a Pistoia il 21 ottobre 1823, morto a Soiana il 11 agosto 1892, si forma all’Università di Pisa, dove studia matematica: è uno dei compagni di viaggio verso le capitali europee della scienza che fa anche Brioschi, con loro c’era anche Felice Casorati, altro grande nome della matematica italiana dell’epoca.

Entra in Parlamento nel 1862, diventa e Rettore dell’Università di Pisa e poi, nel 1864, Direttore della Scuola Normale Superiore: gran parte dell’eccellenza che l’istituto pisano ha raggiunto e mantenuto negli anni è dovuta alla sua opera. Betti è infatti soprattutto un accademico: per quanto impegnato a fondo nella lotta risorgimentale, gli onori e gli oneri politici e istituzionali che riceve successivamente non gli appaiono migliori della sua vita universitaria. Oltre che deputato diventa sottosegretario all’Istruzione, poi Senatore del Regno, ma nessuna carica gli pare tanto attraente quanto il suo mestiere di docente universitario.

Quando Riemann torna in Italia nel 1863, trova in Betti un amico, disposto ad ospitarlo e a rinnovargli l’amicizia nata in Germania. Influenzato dal genio tedesco, Betti si dedica allo studio della topologia, pubblicando notevoli memorie sull’argomento, al punto che Poincaré, dopo averle lette, chiama “Numeri di Betti” le grandezze che gli erano state ispirate dallo studio dell’opera. Prima ancora che topologo, Enrico Betti è però algebrista: si dedica con passione all’analisi dei lavori di Galois, giungendo quasi ad una completa dimostrazione analitica dei lavori del francese. Dimostra la chiusura dei gruppi di Galois per la moltiplicazione e la possibilità di risolvere le quintiche tramite gli integrali delle funzioni ellittiche.

Bisogna ricordare anche che il giovane Betti parte volontario per Curtatone e Montanara al seguito di un suo amato professore, che non a caso è proprio il comandante del Battaglione Universitario Toscano.

Questo affascinante personaggio, che tra l’altro fa da ponte ideale tra Betti e Menabrea, giacché anch’egli ebbe un ruolo importante nelle discussioni che portarono alla Macchina Analitica di Babbage, è Ottaviano Fabrizio Mossotti. Nato a Novara il 18 aprile 1791, si laurea in Fisica-Matematica a Pavia nel 1811. Due anni dopo entra all’Osservatorio Astronomico di Brera e ha tutti i titoli per aspirare ad una cattedra all’università di Pavia, salvo uno, fondamentale: è cittadino straniero. La sua nascita piemontese tale lo rende, infatti, nel Lombardo-Veneto austriaco.

Trova un metodo nuovo per il calcolo delle orbite celesti che suscita addirittura l’ammirazione di Gauss, ma questo non cambia la sua posizione accademica. Scrive articoli divulgativi di astronomia su un giornale liberale, “Il Conciliatore”, e proprio in quest’atmosfera liberale viene contattato dalle società segrete che auspicano l’indipendenza nazionale, soprattutto quella diretta da Filippo Buonarroti.

Il suo nome compare nelle carte dei rivoluzionari, e si vede costretto a fuggire a Londra, dove peraltro si guadagna la stima di un fisico del calibro di Young. Vaga poi tra Europa e Sudamerica: quando sembra rendersi disponibile per lui una cattedra a Bologna, se la vede negare all’ultimo minuto perché lo Stato Pontificio ha scoperto che è ricercato dalla polizia austriaca, e non vuole essere compromesso diplomaticamente. Ricomincia il pellegrinaggio e l’esilio: insegna all’università inglese di Corfù, riceve entusiasti commenti su un suo lavoro da parte di Faraday, scrive un testo elementare di Fisica Matematica che diventa un manuale usatissimo.

Il Battaglione Universitario Toscano forte di quasi 500 tra studenti e professori, è quasi una sua personale creazione. Solo quando finalmente l’Unità d’Italia è raggiunta si vede riconoscere gli onori. Diventa uno dei primi senatori del Regno; viene eletto all’Accademia delle Scienze di Torino: ma è ormai giunto alla fine della sua esistenza. Muore a Pisa il 20 marzo del 1863.

Lo studente espulso dal Collegio Ghisleri per le sue simpatie per il Risorgimento è Eugenio Beltrami. Nato a Cremona il 16 novembre del 1836, al momento dell’espulsione frequentava l’Università di Pavia, dove seguiva gli insegnamenti di Brioschi.

Incapace di mantenersi gli studi, accetta un impiego presso le Ferrovie: il lavoro lo porta a frequentare Verona e Milano, e proprio qui, all’Osservatorio di Brera, ritrova Brioschi, che lo convince a dedicarsi alla matematica. È evidente che il matematico che ha combattuto durante le Cinque Giornate ha simpatia per il giovane Beltrami, al punto di riuscire a farlo entrare, pur senza concorso, come professore straordinario di algebra e geometria all’Università di Bologna. Del resto, la fiducia era ben riposta: Eugenio Beltrami si rivela presto uno studioso di vaglia, dedicandosi alle geometrie non euclidee. Affascinato dagli studi di Riemann, Lobachevski, Gauss e del suo professore Luigi Cremona, si applica alla geometria differenziale, in qualche modo aprendo anche la strada verso il calcolo tensoriale. Grandi meriti ha anche come traduttore e divulgatore della matematica: traduce in italiano opere di Gauss, e introduce nel paludato mondo accademico di fine Ottocento uno stile brillante e chiaro, che farà storia, nell’esposizione delle idee matematiche. Poco prima di morire diventa anch’egli senatore nel 1899. Muore a Roma il 18 febbraio del 1900.

Il ragazzino diciottenne che diventa sergente prodigandosi nella disperata difesa di Venezia è proprio il professore di Beltrami, e cioè Luigi Cremona. Nato a Pavia il 7 dicembre 1830, Cremona è una delle figure più significative e autorevoli della matematica italiana del suo periodo. Fratello di Tranquillo, noto pittore della Scapigliatura Milanese, si impegna nel Risorgimento prima ancora che nella matematica. Dopo il sogno infranto del Quarantotto, si laurea a Pavia in Ingegneria: si dedica però all’insegnamento, prima nei licei, poi come ordinario di Geometria Superiore a Bologna.

Brioschi però lo conosce, e ne sa il valore: lo chiama quindi ad insegnare Statica Grafica nella sua creatura, il Politecnico di Milano. Ma le sue capacità sono note un po’ ovunque, nell’ambiente, e nel 1873 viene chiamato direttamente dal Ministro dell’Istruzione che lo incarica di riordinare la Scuola degli Ingegneri a Roma. Qui inizia la nuova attività, e nel contempo occupando la cattedra di Matematica Superiore alla Sapienza. Diventa senatore e anche, seppur per brevissimo tempo, Ministro della Pubblica Istruzione.

In campo scientifico, si occupa anch’egli di geometria algebrica e differenziale, il campo che dava maggior lustro alla scuola italiana di matematica, con una mole di opere impressionante. Muore a Roma il 10 giugno 1903.

Il numero di matematici famosi impegnati nella battaglia per l’Italia Unita è straordinariamente elevato, se si tiene conto che quasi tutti i maggiori nomi della matematica del tempo sono rappresentati in episodi risorgimentali.

Il dato è fin troppo rassicurante, al punto che viene da chiedersi quale possa esserne la ragione: esiste davvero una correlazione tra la dedizione alla matematica e lo spirito di indipendenza nazionale? C’è davvero una sorta di sincronia delle passioni, come se lo studio delle superfici geometriche implicasse per necessità anche l’amore per quella strana superficie bidimensionale e tricolore che è solita agitarsi nelle tre dimensioni dei cieli patri? O, più probabilmente, non sarà che il Risorgimento e la volontà di unire una patria che da troppo tempo era illogicamente divisa fossero afflati sentiti tanto diffusamente, tanto naturalmente, tanto fortemente, tanto urgentemente, centocinquant’anni fa, che tutti gli uomini dotati di cuore e ragione non potevano fare a meno di sentirli propri? Fosse vera questa seconda ipotesi, potremmo accantonare le strane e improbabili correlazioni, e giungere a dimostrare, quasi banalmente, che i matematici sono uomini.

Ma noi lo sapevamo già, vero?

Categorie: Le Scienze - Matematica

17 Novembre 1790 – Buon compleanno August!

Rudi matematici - Gio, 11/17/2011 - 06:00

Sempre caro mi fu quest’ermo colle,
e questa siepe, che da tanta parte
dell’ultimo orizzonte il guardo esclude.
Ma sedendo e mirando, interminati
spazi di là da quella, e sovrumani
silenzi, e profondissima quiete
io nel pensier mi fingo; ove per poco
il cor non si spaura. E come il vento
Odo stormir tra queste piante, io quello
infinito silenzio a questa voce
vo comparando: e mi sovvien l’eterno,
e le morte stagioni, e la presente
e viva, e il suon di lei. Così tra questa
immensità s’annega il pensier mio:
e il naufragar m’è dolce in questo mare.
(Giacomo Leopardi, L’Infinito)

“Gettare l’anima oltre l’ostacolo” è ormai una delle frasi più usate nel gergo sportivo dalla retorica giornalistica italiana (anche se si usa prevalentemente la forma gettare il cuore oltre l’ostacolo), ma era originariamente una frase molto patriottica. Frase che richiama, naturalmente, eroismi militari, ma che forse anche i nati nel dopoguerra potrebbero riconoscere grazie a qualche ausilio mediatico. Chi può aver gettato l’anima oltre l’ostacolo? Cosa può veramente significare una frase del genere? Dato che noi siamo notoriamente più propensi alle facezie che alle cose serie, forniremo come primo esempio di questa immagine la scena di un film con Don Camillo e Peppone. Una scena relativamente seria, a dire il vero, non una delle celebri gag della coppia. Vi si vede Peppone mentre fa un discorso per esortare i compagni a non seguire il governo verso la guerra, ma l’astuto Don Camillo, con un semplice intervento psicologico, lo confonde al punto da fargli concludere il discorso con una esaltata verve patriottica e in piena contraddizione, al punto di inneggiare nello stesso tempo al Re e alla Repubblica. Riusciamo a riportare solo il testo del discorso, ma naturalmente chi volesse può trovare in rete anche la sequenza video completa):

Cittadini lavoratori! (applausi)
Prima di presentarvi il compagno indipendente avvocato Cerratini (applausi) voglio dire due parole alla reazione clericale, atlantica e guerrafondaia che tutti ben conosciamo (applausi), a quegli sporchi corvi neri che parlano di patria, di sacri confini minacciati e di altre balle nazionaliste che la Patria siamo noi, la Patria è il Popolo!
E questo popolo non combatterà mai contro il glorioso Paese del socialismo che porterà al nostro proletariato oppresso la libertà e la giustizia! (applausi)
E voi giovani che andate nelle barbare caserme, direte a coloro che tentano di armarvi e di usarvi per i loro sporchi interessi, direte a coloro che diffamavano i lavoratori…
(Dal campanile di Don Camillo si levano le note della Canzone del Piave)
…direte ai calunniatori del Popolo, direte che i vostri padri…
(Gli occhi di Peppone iniziano a farsi lucidi)
…hanno difeso la Patria dal barbaro invasore che minacciava i sacri confini e che noi del ’99 che abbiamo combattuto sul Monte Grappa, sulle pietraie del Carso e sul Piave saremo sempre quelli di allora e che quando tuona il cannone è la voce della Patria che chiama e noi risponderemo “Presente!”.
(Don Camillo dalla torre campanaria si mette sull’attenti e sussurra “Presente!”)
Noi vecchi che abbiamo sul petto le medaglie al valore conquistate sul campo di battaglia ci troveremo come allora a fianco dei giovani e combatteremo sempre ed ovunque, getteremo l’anima oltre l’ostacolo e difenderemo i sacri confini d’Italia contro qualsiasi nemico, dell’Occidente e dell’Oriente, per la difesa del Paese e al solo scopo del bene indissolubile del Re e della Patria!
Viva la Repubblica, viva l’Esercito! (applausi)

La rapida conversione di Peppone è come sempre un artificio di Guareschi, che non nascondeva le sue evidenti simpatie per Don Camillo: ciò non di meno è vero che una sapiente retorica coniugata nel momento e nel luogo opportuno riesce spesso dove la razionalità fallisce. In questo contesto, la frase “gettare l’anima oltre l’ostacolo” che come si è visto viene pronunciata con occhi lucidi anche da Peppone è un bell’esempio di arte oratoria. Esorta a proiettare le aspirazioni e i desideri dalla parte opposta di ciò che impedisce il passaggio, sia esso un confine, una barricata nemica o (in tempi più calmi e molto moderni) i terzini della squadra avversaria.

Il motto degli aerosiluranti RAC-ICAF (Regia Aeronautica Cobelligerante – Italian Co-Belligerant Air Force) alla fine della Seconda Guerra Mondiale era proprio “Getta l’anima oltre l’ostacolo, e vai a riprenderla”, e tale e quale si legge su molti dei monumenti che celebrano gli eroi del periodo. Si trattava di soldati che volavano su aerei che talvolta cadevano anche senza bisogno dell’intervento del nemico, e la cui missione spesso comportava il morire in mare bombardando navi. È possibile che proprio dal motto di questa forza aerea derivi la corrispondente esortazione sportiva, anche se sembra aver perso la parte significativa che spiega che ciò che si getta prima deve anche essere recuperato poi. È una perdita grave, dal punto di vista del significato evocativo, perché non basta gettare l’anima, il cuore, il desiderio dall’altra parte, per risolvere i problemi: occorre poi che tutto il resto segua; perché sono sempre il corpo, la carne e il sangue che realmente risolvono la difficoltà. Altrimenti si rimane con nient’altro che un’intenzione. Ironicamente, la parte più eroica del motto si è perduta, come lasciata in esclusiva a quegli aviatori che a riprendere il cuore o l’anima lanciata oltre ci provavano davvero, sbattendo contro l’ostacolo e spesso morendo nel tentativo.

Ostacolo viene dal latino ob+stàculum, cioè “che sta dinanzi”. Può essere interessante notare che non c’è mai accezione esplicitamente negativa: né nell’etimologia di ostacolo, né nella terribile particella anti, che anch’essa significa solo “di fronte a”, e neppure nell’origine del verbo opporre, che significa solo porre di fronte. Ciò non di meno, il significato corrente delle espressioni una connotazione negativa ce l’ha eccome, perché nell’attuale immaginario collettivo sembra proprio che ogni ostacolo debba essere superato o rimosso, e tutto ciò che ci si oppone sia nostro nemico.

In matematica è tutto più pacifico perché non c’è connotazione morale nelle forme e nelle configurazioni geometriche: un lato BC opposto al vertice A si trova semplicemente di fronte al vertice in questione, l’opposizione resta una semplice posizione, che non danneggia in alcun modo né il signor A né il distinto signor BC. Nel mondo reale, invece, le posizioni tendono ad avere multipli significati a causa delle interpretazioni umane: sedersi ai lati opposti di un tavolo di trattative potrebbe indicare diversi interessi, mentre in una tavolata di amici a cena essere di fronte potrebbe facilitare una piacevole conversazione e scambio di occhiate complici.

Le barriere, oltre a rendere il percorso più arduo, tendono a coprire quello che si trova dall’altra parte: e potrebbero nascondere una meta, una destinazione, ma anche difficoltà, forse altri impedimenti. Come ricorda Leopardi, potrebbe persino essere un vantaggio il non sapere cosa si trova al di là della siepe: potrebbe permettere a desideri e aspirazioni di superare la paura e immaginare e creare mondi migliori e finali più adatti, per rafforzare il desiderio e la motivazione ad affrontare l’ostacolo, e superarlo. Forse è proprio in questo senso che l’anima o il cuore devono essere gettati, lanciati senza alcuna remora né timore, in un salto di immaginazione che proietta il resto dell’essere in avanti verso la meta, liberandolo dei vincoli che pongono l’ignoto ed invisibile.

Ma cosa succede se dall’altra parte non c’è nulla di ciò che ci si aspetterebbe o, peggio, c’è proprio l’opposto di quello che ci si aspetterebbe? Gli aerosiluranti che resero famoso il motto si trovarono davanti un ostacolo ancora peggiore durante l’autunno del ’43: l’armistizio trasformò il vecchio nemico in alleato, il vecchio alleato in nemico, e ognuno di loro dovette individualmente decidere cosa fare del proprio cuore e della propria anima. Dove gettarli, in quel caso? Qual era la parte giusta dell’ostacolo?

E se l’ostacolo è esso stesso una proiezione, una creazione umana per spingersi ad andare avanti verso altro? Potrebbe non esserci affatto un oltre, un’altra parte, ma una infinità di nuove sfide da affrontare, come in una corsa ad ostacoli, dove occorre continuare a contare i passi, studiare la strategia migliore per ottimizzare gli intervalli tra le barriere, gli occhi fissi verso un ostacolo che è solo uno dei tanti, solo per questa volta, per questo scatto.

È ben noto l’aspetto psicologico in qualsiasi lotta, per cui tutti gli atleti professionisti sono sottoposti a training della loro immaginazione e imparano presto a proiettarsi avanti, immaginare loro stessi che attraversano il traguardo vittoriosi, gettare l’anima in avanti nel tempo, al momento in cui avranno vinto la competizione, e poi andarla a prendere, la vittoria, sul serio. L’immagine non è campata in aria, insomma, pur senza i moderni studi psicologici. Ma il problema resta: cosa succede se la realtà è inferiore alle aspettative? Se riprendendo l’anima si scopre che non è cambiato nulla, che il prossimo passo consiste semplicemente in un altro lancio?

Ma soprattutto, cosa succede se l’altro lato non esiste affatto? Se ci si ritrovasse sempre e comunque al punto di partenza? Se l’opposto non fosse veramente dall’altra parte, ma nella nostra (e unica)?

Le superfici ordinarie, quelle che siamo abituati a considerare tutti i giorni, hanno sempre due facce, per cui è sempre possibile percorrere idealmente uno dei due lati senza mai raggiungere il secondo, salvo attraversando una possibile linea di demarcazione costituita da uno spigolo (chiamata “bordo”): si pensi ad esempio ad un foglio di carta, o anche alle superfici di una sfera o di un cilindro. Per queste superfici è possibile stabilire convenzionalmente un lato superiore o inferiore (come nel caso del foglio), oppure interno o esterno (come nel caso della sfera). Nel caso del nastro in figura, invece, tale principio viene a mancare: esiste un solo lato e un solo bordo. Dopo aver percorso quello che istintivamente continuiamo a chiamare un giro, ci si trova dalla parte opposta a quella di partenza. Solo dopo averne percorsi due ci ritroviamo nel medesimo punto dal quale siamo partiti. Nel nostro percorso passiamo in tutti i punti della superficie a quella senza dover attraversare alcun bordo, semplicemente continuando a percorrere il nastro. Stavolta, l’ostacolo lo si affronta e supera senza neppure incontrarlo.

Del nastro abbiamo trovato esempi notevoli sul sito ufficiale delle opere di Escher e qui. Non ne riportiamo alcuno per evitare problemi di copyright, ma vi invitiamo a visitarli, così come la pagina di immagini matematiche di Wikipedia che ha numerose animazioni divertenti. Qui sì che sarebbe un problema, lanciare l’anima dall’altra parte.

La superficie che ha già preso mezza pagina di questo articolo fu studiata e analizzata nei dettagli da un matematico tedesco di origini ceche: Johan Benedict Listing, vissuto tra il 1808 e il 1882. A lui si deve un grande passo avanti della topologia, e persino il nome della stessa branca sembra sia stato per la prima volta usato proprio in una sua lettera.

Johan viaggiò molto, raccolse innumerevoli dati per un suo professore eccezionale, un tale Gauss, che servirono a sviluppare la teoria dell’elettro-magnetismo.

Ma il suo vero interesse fu sempre la topologia e le implicazioni nella fisica: tra i contributi di cui può andare fiero c’è senz’altro l’aver fecondato la mente di un altro matematico leggendario, Riemann.

Pur se è vero che la formalizzazione dello studio della superficie del nastro con una faccia sola è stata fatta da Listing, il nome con cui è diventata famosa è stato rubato ad un altro matematico ottocentesco, anche lui un gigante della topologia, che aveva allo stesso tempo lavorato su superfici topologiche originali.

August Ferdinand Möbius nacque il 17 Novembre 1790 a Schulpforta, un paese vicino Leipzig, Lipsia, in Sassonia. Il padre, un insegnante di danza, morì quando lui aveva solo tre anni, e così fu cresciuto dalla madre, che a quanto pare era una discendente di Martin Lutero: tutto qui quello che si conosce delle origini di questo gigante della topologia moderna, che fin da piccolo sembra aver amato la matematica, l’astronomia e la fisica.

Frequentò l’università di Lipsia, inizialmente studiando legge: era la volontà della famiglia. Già a metà del primo anno però cambiò indirizzo, virando decisamente sulle materie di suo interesse. L’insegnante di astronomia di August era Karl Mollweide, noto anche per i suoi risultati sulle relazioni trigonometriche e le proiezioni di mappe che permettono di preservare le aree: la topologia era già nell’aria.

Nel 1813 lasciava Lipsia per Göttingen, dove studiò astronomia con Gauss (sarebbe interessante scoprire quanti studenti di Gauss si interessarono di topologia: ne abbiamo già trovati due senza nemmeno cercarli), ed in seguito si trasferì ad Halle, ad imparare matematica da Pfaff, che era stato a sua volta l’insegnante di Gauss. La sua tesi di dottorato era sull’occultazione delle stelle fisse, quella di abilitazione sulle Equazioni trigonometriche: mentre vi lavorava ci fu un tentativo di arruolarlo nell’esercito prussiano, ipotesi per lui inaccettabile e che non fu mai attuata, per fortuna. Il 1816 generò una serie di circostanze fortunate, visto che Mollweide riuscì ad ottenere la cattedra di matematica, e Möbius a prendere il posto del suo professore come “professore straordinario” di astronomia e meccanica superiore. Malgrado l’inizio fortunato, Möbius non era un insegnante molto amato e le sue lezioni non attraevano molti studenti, e per molti anni non riuscì ad ottenere una cattedra ordinaria, anche perché si ostinava a restare a Lipsia per orgoglio nazionale, ed anche quando nel 1825 Mollweide morì, non riuscì a seguire i passi del maestro ed ottenere la cattedra di matematica.

Nel frattempo si era sposato e aveva iniziato una brillante serie di pubblicazioni (ormai molte delle sue opere si trovano in rete nella loro versione originale, per esempio qui) che gli valsero i primi riconoscimenti. Se come insegnante non aveva molto successo, come ricercatore sia in ambito matematico sia astronomico la sua fama cominciava ad essere internazionale: quando nel 1844 ricevette un’ottima offerta dall’università di Jena, a quel punto l’Università di Lipsia si decise ad assegnargli la cattedra ordinaria in astronomia che aveva occupato per anni come sostituto.

Quasi tutti i risultati matematici di Möbius apparvero sul Giornale di Crelle; Der barycentrische Calcul, pubblicato nel 1827, fu riconosciuto come un classico: include risultati di geometria proiettiva e affine, introduce coordinate omogenee e discute trasformazioni geometriche e in particolare proiettive; introduce una configurazione ora chiamata rete di Möbius, che giocherà un ruolo importante nella definizione della geometria proiettiva.

Il suo biografo scriveva:

L’ispirazione per la sua ricerca la trovava soprattutto nel ricco pozzo della sua mente originale. La sua intuizione, i problemi che si poneva e le soluzioni che trovava, tutto dimostra un ingegno eccezionale, qualcosa di originale in modo non forzato. Lavorava senza fretta, tranquillamente da solo. Il suo lavoro restava nascosto finché tutto non era stato messo al proprio posto. Senza fretta, senza pompa né arroganza, aspettava finché i frutti della sua mente non fossero maturi. Solo dopo una tale attesa pubblicava i suoi lavori perfezionati…

Ci fa veramente pensare ad un personaggio paziente e dedicato, anche considerando le opere astronomiche (De Computandis Occultationibus Fixarum per Planetas – 1815 – Die Hauptsätze der Astronomie – 1836 – Die Elemente der Mechanik des Himmels –1843) e le tante opere che furono ritrovate solo dopo la sua morte e pubblicate in seguito.

Ed è in una di queste memorie, presentata all’Académie des Sciences e scoperta dopo, che compare la superficie mono-lato: Möbius stava lavorando ad una questione sulla teoria geometrica dei poliedri per l’Académie, e definì le proprietà del nastro oggi chiamato con il suo nome.

Ma sono tanti gli oggetti a cui Möbius ha donato il suo nome.

La trasformazione di Möbius, per esempio, è definita sulla sfera di Riemann ed è utilizzata nella geometria proiettiva e nell’analisi complessa. Si tratta di una trasformazione che preserva le circonferenze e gli angoli, ed ha numerosi utilizzi pratici.

No, non siamo abbastanza bravi da raccontarli in modo poco professionale in queste righe. Su Wikipedia, però, soprattutto nella versione inglese, ci sono delle figure che danno proprio l’idea.

La trasformata di Möbius, da non confondere con la trasformazione, è invece parte della teoria dei numeri, insieme alla funzione di Möbius μ(n), che è un’importante funzione moltiplicativa che identifica proprietà combinatorie dei numeri: ha infatti valore 0 se n ha nei suoi fattori dei quadrati, –1 se n ha un numero dispari di fattori primi distinti, o 1 se il numero dei fattori è pari. Le proprietà interessanti di questa funzione determinano anche l’utile formula di inversione di Möbius.

Ancora non è finita: in teoria dei grafi c’è il grafo di Möbius-Kantor, e la configurazione di Möbius-Kantor. Questi ultimi nascono proprio dalla curiosità del nostro protagonista, che si era chiesto se potessero esistere determinate configurazioni, domande a cui Kantor ha risposto utilizzando il piano proiettivo immaginario.

August si poneva dei problemi, che in qualche modo ebbero conseguenze non banali in molte discipline. Eccone un altro buon esempio:

C’era una volta un re con cinque figli. Nel suo testamento decise che alla sua morte il suo regno fosse diviso dai figli in cinque regioni in modo che ognuna avesse un confine con le altre quattro. È possibile soddisfare queste condizioni?

La risposta è no, ed è anche facile da provare, ma il problema è uno dei precursori dell’annosa questione della colorazione delle mappe con quattro colori, un altro caso in cui provò con l’immaginazione a fare cose che fino a quel momento erano ritenute impossibili.

Il problema risolto dalla configurazione di Möbius-Kantor è il seguente: è possibile trovare una configurazione di otto punti su otto file di tre punti, tale che ogni punto appartenga ad esattamente tre file? La risposta va trovata guardando oltre il mondo euclideo a cui siamo abituati, ed è certo un buon esempio di gettare l’anima oltre in confini dell’attuale geometria, oltre i confini delle convenzioni che non permettono di vedere la completezza di un mondo molto più vasto.

Forse non è un caso che tutte le biografie di August Möbius che abbiamo trovato in rete dimenticano di ricordarne la morte nel 1868 a Lipsia, nella sua Sassonia. Forse in merito mancano informazioni, documenti: o magari è riuscito a curvare lo spazio in maniera opportuna, partendo per un’altra dimensione, cercando di recuperare la sua anima.

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Accorrete Al Carnevale Della Matematica #43: C'e' Pitagora

Matem@ticamente - Mar, 11/15/2011 - 00:15

Leggi ancora | Pubblicato da nereide1 | Commenti (8) Tag: eventi, carnevale della matematica

                                                                 

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Costruiamo Il Tangram Con GeoGebra

Matem@ticamente - Mer, 11/09/2011 - 21:15

Mezzani di 2°B, questa mattina a scuola abbiamo iniziato a studiare l'estensione superficiale dei poligoni, che l'anno scorso abbiamo analizzato dal punto di vista della lunghezza dei ...

Leggi ancora | Pubblicato da nereide1 | Commenti (10) Tag: animazione, geometria, applet, geogebra, poligoni, risorse free

                                                                 

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Roba da islandesi III

Rudi matematici - Mer, 11/09/2011 - 06:00

Mi contraddico? Ebbene, mi contraddico.
Sono un universo, contengo miracoli.
W. Whitman, Foglie d’erba (traduzione molto libera)

Ammetto di avere una cosa in comune con gli Islandesi (avete letto la prima e la seconda parte?): la scarsa preoccupazione per le zanzare. Sono uno dei fortunati che viene, di norma, punto solo una volta l’anno; poi, probabilmente, si passano la voce.

Se la cosa è poco chiara, forse aiuta la citazione in testa; stiamo per parlare di una cosa della quale avevamo detto non avremmo parlato. Come al solito, prendiamola alla lontana.

L’idea è quella di trovare una formula, approssimativa quanto si vuole, per descrivere la crescita delle popolazioni; un risultato ragionevole, in questo campo, è stato ottenuto nel 1976 da Robert May (biologo), prendendo spunto dal modello logistico di Pierre François Verhulst, che cercava di descrivere la variazione della popolazione in funzione dei parametri di nascita e di morte degli individui; le nascite erano considerate proporzionali al numero degli individui nella popolazione, mentre le morti dipendevano dalla massima capacitá dell’ambiente di nutrire la popolazione. Se consideriamo non i due parametri appena visti, ma il loro rapporto r, la formula per il numero di individui nell’anno n+1 puó essere espressa in funzione degli individui presenti nell’anno n attraverso la:

dove 0<xn<1 è la popolazione all’anno n, mentre r>0 è il rapporto tra nascita e morte.

La formula è ragionevolmente semplice da poter essere studiata con un foglio elettronico ma, dato l’amore che mi unisce a questi applicativi, cerchiamo un’altra strada.

Una soluzione stabile (o, se preferite, un punto fisso) sarà un punto per il quale otteniamo sempre lo stesso valore, ossia un valore x* (si vede, che c’è l’asterisco?) per cui sia:

x*=f(x*) => x*=rx*(1-x*)

che, risolta, fornisce (oltre al valore zero) il valore:

x*=1 – 1/r.        [1]

Quindi, posto che si arrivi ad un valore stabile, ci aspettiamo che sia questo.

La stabilitá di un dato punto, peró, dipende dalla derivata della nostra funzione nel punto, che per noi vale f’(x*)=r – 2rx*; dato che f’(0)=r, l’origine risulta stabile per r<1 e instabile per r>1; più interessante il comportamento nell’altro punto, per cui abbiamo:

Da cui, la soluzione [1] risulta stabile nell’intervallo 1<r<3.

Va detto che “stabilità” può significare molte cose, e qui un foglio elettronico aiuta; in Figura 1 trovate l’andamento per 0<r<1: evidentemente, se il tasso di morte è maggiore del tasso di nascita, la popolazione si estingue.

Prendendo un valore leggermente più ottimista, come quello utilizzato in Figura 2, per cui 1<r<2, vediamo effettivamente la nostra popolazione stabilizzarsi ad un valore (r-1)/r (anche se scritto leggermente diverso, è lo stesso valore ottenuto dalla [1]), in cui con passo lento e sicuro la nostra funzione cresce fino ad un certo punto e poi resta stabile.

Come dicevamo precedentemente, bisogna accordarsi su cosa significhi “stabilizzazione”; infatti, se proviamo qualche valore maggiore di 2, vediamo che pur raggiungendo sempre lo stesso valore, la nostra funzione prima oscilla tra valori maggiori e minori del nostro punto di arrivo; posto che vogliate provare a fare qualche calcolo, si vede che la velocità con la quale si arriva al punto di stabilizzazione è sempre più bassa.

Vedete questo comportamento in Figura 3, dove abbiamo utilizzato 2<r<3.

Il comportamento a partire dal punto per cui r≥3 comincia ad essere piuttosto strano; infatti, il sistema (come si vede dalla “tendenza” a rallentare nella convergenza per valori vicini a 3) si stabilizza su due punti.

Questo, se torniamo a vedere la nostra equazione originale, significa semplicemente che abbiamo trovato due punti p e q per cui valgono le due regole f(p)=q e f(q)=p; in questo modo, la funzione è costretta a saltellare sempre tra questi due valori, non appena ne prende uno.

Calcolare quali siano questi punti non è difficile, nel momento stesso che si considera il fatto che, se ottengo prima l’uno e poi l’altro, applicando due volte di seguito la funzione ottengo sempre lo stesso valore; ossia, la funzione

ha un punto fisso in p. Per trovare il valore di p, dobbiamo risolvere allora l’equazione f2(x)=x.

Il problema a questo punto è che se l’equazione di partenza era di secondo grado, qui bisogna lavorare con una quartica, e la cosa può non sembrare molto semplice; ricordiamo però che giá conosciamo due soluzioni della nostra equazione, che sono i punti fissi ottenuti precedentemente x*=0 e x*=1-1/r; se fattorizziamo queste due soluzioni, l’equazione risultante sarà di secondo grado; le radici risultano

che sono reali e distinte per r>3; il comportamento della funzione, in questo caso, lo si vede in Figura 4 che mostra il comportamento per

Il motivo dello strano limite superiore dell’intervallo nasce dalla verifica della stabilità delle soluzioni trovate; questo richiede di individuare gli intervalli per cui è minore di 1 (in modulo) il moltiplicatore definito da:

nel nostro caso non è particolarmente complicato ma i calcoli sono piuttosto noiosi.

Con metodi simili (e calcoli più noiosi) si vede che oltre il valore i punti di oscillazione sono quattro (la cosa si vede in Figura 5) ma la situazione dura poco; infatti, per valori maggiori di 3,54 i punti diventano otto, poi sedici… e il guaio è che questo succede sempre più spesso. Bruttissimo.

In tutto questo disastro, fortunatamente, una buona notizia; Feigenbaum ha fatto un po’ di conti in merito, o più che altro delle prove: gli va comunque riconosciuto il merito di averle fatte, per via numerica, in un’epoca nella quale l’ultimo grido della scienza e della tecnica era la calcolatrice programmabile con un centinaio di passi: leggenda vuole che i “conti” siano stati fatti su una HP-65, e Excel allora era roba da Star Trek. Comunque si è accorto di due cose

1. Il rapporto tra due intervalli successivi è costante (≈0.4669… e, giustamente, si chiama Costante di Feigenbaum).
2. Non dipende dalla funzione che si utilizza: si ottengono gli stessi valori, ad esempio, con funzioni trigonometriche o iperboliche (sempre ≈0.4669… e, giustamente, continua a chiamarsi Costante di Feigenbaum).

Bene, fermo restando che ne succedono di tutti i colori, potrebbe essere interessante trovare una rappresentazione grafica del tutto; la trovate qui di seguito in Figura 6 (ottenuta attraverso FractInt).

…il bello di certi frattali è che occupano pochissimo spazio; una volta tanto, l’immagine non appesantisce troppo il numero di byte di questo post, anche se verso la fine cercheremo di dare il nostro contributo anche in questo senso.

Che il grafico sia complicato, è indubbio; oltretutto, esistono dei valori (i “buchi” bianchi sulla destra) per i quali, dopo averci fatto perdere quasi tutte le speranze, sembra ricominciare a comportarsi bene, almeno per qualche tempo.

Esistono dei modi, decisamente complicati, per studiare un sistema del genere; uno è quello degli Esponenti di Lyapunov, che ci permettono di stabilire quanto velocemente un sistema diverge (nello spazio delle fasi: volendo fare una brutale approssimazione, misura “quanti valori abbiamo” nel grafico qui sopra); gli esponenti sono, di solito, in numero uguale alle dimensioni che stiamo trattando ma, essendo qui interessati al fatto che il nostro sistema si comporti “male”, è invalsa l’abitudine di considerare soltanto il maggiore.

La definizione degli esponenti di Lyapunov è piuttosto complessa e non staremo a tediarvi in merito; se siete interessati ad una trattazione formale vi consigliamo, come punto di partenza, un giro su Wikipedia alla voce opportuna.

Fortunatamente, esistono dei metodi brutali che permettono di stimare con una certa precisione il comportamento dell’Esponente di Lyapunov dividendo per il numero dei cicli di calcolo il valore e studiando che valore si ottiene; i valori negativi indicano un comportamento stabile o ciclico, mentre quelli positivi indicano il caos; solitamente, si variano i colori nelle mappe in funzione del numero di cicli, riservando il nero per il comportamento caotico. Sembra strano, ma come approssimazione è ragionevolmente buona, tant’è che è quella utilizzata in FractInt.

Bene, forti di questa rozza approssimazione di un magnifico strumento, proviamo a complicarci la vita, e a introdurre le zanzare.

L’idea è quella di avere due diversi sistemi logistici, o meglio far agire due parametri “r” su un medesimo sistema logistico e stare a guardare cosa succede.

Sì, ma come li alterniamo? Cominciamo da un caso semplice, una volta l’uno e una volta l’altro. Avete il risultato nell’immagine in Figura 7, per quanto riguarda il quadrante positivo; gli altri quadranti, anche se non “agitati” come questo, sono comunque abbastanza interessanti e vi consigliamo di “farci un giro”.

L’immagine è stata ottenuta sempre attraverso FractInt, che permette di variare le sequenze utilizzate; dobbiamo però dire che, sadicamente, l’estensore di questa parte del programma ha deciso di complicarci piuttosto la vita. Infatti, per prima cosa bisogna costruire la sequenza in modo tale che inizi con due a e termini con una b, eventualmente scambiando a con b (il che ci causerà al più uno scambio tra i due assi ortogonali); quindi dovremo cancellare la prima a e l’ultima b e trasformare le a restanti in 1 e le b in 0 (la “doppia a” all’inizio ci garantisce che il numero inizia per 1), considerare il risultato come un numero binario e inserire il valore tra i parametri.

Se siete sopravvissuti a questo calcolo, sappiate che ha una specie di eccezione: il valore 0 corrisponde alla sequenza tracciata in Figura 7 (quadrante positivo, mappa GAMMA1).

Probabilmente la cosa non vi pare eccessivamente complessa; il mio consiglio è di provarci, possibilmente ingrandendo le parti in alto.

O, temerariamente, potreste provare con sequenze “vicine”: ad esempio, in Figura 8 trovate la sequenza sintetizzata da 1, e le cose già si complicano.

Solo per fare ancora un passo, il valore 2 lo trovate nella Figura 9. Non procediamo oltre, ci limitiamo a segnalarvi che il sadico estensore dell’help (…chiamalo “help”…) forte del fatto che gli piacciono i sonetti, utilizza come esempio la sequenza che porta al valore 618, ma noi preferiamo mantenerci a quote più basse.

“E cosa c’entrano le zanzare?” Beh, la popolazione delle zanzare è influenzata da vari parametri; se uno di questi parametri presenta delle variabilità (come parametri potete scegliere, ad esempio, le condizioni metereologiche o la popolazione “appetibile”) possiamo studiare come evolve l’equazione logistica e scoprire se, quest’anno, saranno una fastidiosa presenza costante o si presenteranno a “ondate”…

Comunque, non scordate l’Autan®.

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Storie Di Numeri Di Tanto Tempo Fa - Capitolo 9

Matem@ticamente - Gio, 11/03/2011 - 22:39

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Maddmaths Incontra, A Partire Dal 9/11/2011

Matem@ticamente - Mer, 11/02/2011 - 20:41

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Droghe e dipendenze: ecco perché il cervello fa la scelta sbagliata

Le Scienze - Mar, 11/01/2011 - 08:00

Che cosa spinge a ripetere comportamenti di dipendenza o di abuso da sostanze, come nel caso del fumo di sigarette, del consumo di alcol o del cibo, o anche da comportamenti come nel caso del del gioco compulsivo o della cleptomania?

Le ricerche in campo neurobiologico stanno indagando la questione da molti anni: l'ultimo risultato in ordine di tempo viene ora dall'Università della California a Berkeley dove un gruppo di neuroscienziati ha individuato l'esatto punto in cui nel cervello vengono elaborate le informazioni che danno come risultato un comportamento compulsivo.

Gli ...

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Verso un test rapido per le malformazioni dei globuli rossi

Le Scienze - Mar, 11/01/2011 - 08:00

Una deformazione a carico dei globuli rossi è un segno di patologie gravi, come la malaria o alcune forme di anemia. Finora l'unico modo per accertare se un globulo rosso avesse la forma corretta era quello di osservarlo singolarmente al microscopio, con una procedura spesso lunga per il patologo che la effettuava.

Ora i ricercatori dell'Università dell'Illinois a Urbana-Champaign (UIUC) hanno messo a punto una tecnica, descritta sulle pagine della rivista Biomedical Optics Express, che permette di valutare la forma corretta di un globulo rosso in pochi secondi, analizzando la ...

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Il problema di Ottobre (518) – Una moneta a me, una moneta a te

Rudi matematici - Mar, 11/01/2011 - 07:00

Nella matematica moderna (ma anche in quella antica) è sempre stato importante il concetto di simmetria. Come sanno gli affezionati lettori di RM e di questo blog, le “evidenti ragioni di simmetria” sono un tormentone e anche un tormento, almeno per alcuni elementi della triade. Ora, il nostro sottile sesto senso matematico ci suggerisce che probabilmente esiste qualche sorta di affinità tra il concetto di simmetria e quello di parità, ma non vorremmo addentrarci troppo nella questione, anche perché i Rudi Matematici sono notoriamente tre, e tre è numero evidentemente dispari e anche poco simmetrico (a meno di considerare la sua simmetria alto-basso, almeno per quanto riguarda la grafica della cifra).

In ogni caso, almeno un po’ di parità bisognerà parlare, visto che era proprio questo il cuore del problema pubblicato nel numero di Ottobre. Se uno non ci pensa, il prblema diventa oggettivamente complicato da affrontare: ma se invece lo fa, il gioco trova velocemente una bella strategia risolutiva.

Va detto che un bel numero di lettori questo utilizzo della parità l’ha attuato, e con superba nonchalance. Vi ricordate il testo del problema?

Un gioco da fare in due: date 62 monete, mettetele tutte in fila, assolutamente a caso, e prendete a turno una moneta da una delle due estremità della fila, a scelta. Vince chi, alla fine, avrà il gruzzolo maggiore.

Ovviamente, si richiedeva una strategia per ottimizzare il risultato della gara.

E avanti con le soluzioni: cominciamo con Martino:

Chi sa se uno schema puramente logico può fornire una soluzione generale, che prescinda da monete e monetine.
Io e il mio avversario dobbiamo compiere successivamente e alternativamente una presa fra due sole possibili, la quale presa ci dà un immediato guadagno misurabile e accumulabile senza successivo rischio di perdita.
Comincio io e l’ultima presa spetta a lui ma è obbligata.
La caratteristiche del gioco
1. Non si conosce a priori il valore che possono avere le prese, si sa solo che ognuna è sicuramente maggiore di zero e limitata, cioè il grossone non fa parte del gioco, anche perché non potrei riconoscerlo se arrivasse prima della presa finale, quella in cui comunque eseguo la presa maggiore, lasciando all’avversario la minore, comunque siano andate le cose sino a quel momento
2. Può anche essere ignoto il numero – limitato – di prese totali, basta che sia pari.
3. È possibile calcolare il valore totale dell’alternativa come somma dei due guadagni immediati fra cui è possibile scegliere.
4. La parte dell’alternativa da me scartata, diventa immediatamente parte dell’immediatamente successiva alternativa del mio avversario.
Propongo che si debba fare la presa in modo da rendere minimo il valore totale dell’alternativa che si lascia all’avversario, anche se come presa immediata fosse la meno conveniente delle due.
Indico con P il valore della singola presa, inizio l’analisi da sinistra ma il problema è simmetrico e quindi non dovrei perdere generalità. Diciamo che posso sempre ruotare la tavola di p radianti in modo da avere la presa di maggior valore a sinistra.
«P1» «P2» … «P2n-1» «P2n» con per costruzione P1 ≥ P2n
A) (P1 + P2n-1) > (P2 + P2n) Prendo « P1» lasciandogli l’alternativa di valore minore
B) (P1 + P2n-1) = (P2 + P2n) Prendo P1, (che ricordo ho posto per costruzione > P2n) Se P1 = P2n allora anche P2 = P2n‑1 e passo a considerare le prese successive in modo da lasciare al mio avversario il valore minore fra le due somme possibili dei due gruppetti di prese (uguali di numero). Se non prendo una cantonata orribile posso eliminare a coppie le prese estreme uguali, lasciando me e il mio avversario con un identico valore incassato in quel passaggio.
C) (P1 + P2n-1) < (P2 + P2n) Prendo P2n
Adesso il mio avversario, può trovarsi nelle due differenti situazioni:
1) «P2» «P3» … «P2n-1» «P2n» se ho preso «P1»
2) «P1» «P2» … «P2n-2» «P2n-1» se ho preso «P2n»
Nel caso 1) se deve prendere «P2n» allora, alla fine del primo giro il mio incasso è certamente maggiore del suo, se deve prendere «P2» è perché (P3 + P4) < (P2n-1 + P2n), altrimenti io prenderei …
Ma ditemi un po’, di grazia, questo metodo deve funzionare sempre, ma proprio sempre, facendo vincere il primo che inizia?
Perché se è così smetto di giocare al superenalotto e apro un banchetto – inizio con un numero di monete dispari, lascio iniziare il mio avversario e poi lo frego alla distanza. Mi viene in mente quella versione dell’Ex con un numero di righe truccato di cui scriveva M.G. quando eravamo giovani (se mi ricordo bene).
Comunque visto che il mio metodo è una malvagia perturbazione dei soliti tipo steepest descent, mi viene da pensare che come al solito il problema risieda nel calcolo della derivata, forse bisognerebbe considerare, almeno all’inizio tre o quattro prese invece di due. Ho perfino pensato a sommare il valore delle due metà della schiera.

Notato come il Nostro abbia introdotto il concetto di simmetria, pur non esplorando invece quello di parità? A nostro parere, è un ottimo esempio di come debba essere affrontato un problema in via generale, a meno che non si scorga, ad un certo punto, una brillante scorciatoia. Ignazio, invece, la scorciatoia sembra averla trovata:

La strategia è semplicissima: fatta la prima mossa da destra o da sinistra (secondo una scelta che verrà indicata in fondo), il giocatore che fa prima mossa deve prendere la moneta che segue a quella che prende il secondo giocatore. Così facendo, numerando con il numero 1 (da destra o da sinistra secondo la scelta del primo giocatore) la prima moneta e poi le altre fino alla ultima con il numero 62, succede che quali che siano le scelte del secondo giocatore, il gruzzolo del primo giocatore contiene tutte le monete in posizione dispari e il gruzzolo del secondo giocatore tutte le monete in posizione pari. Il giocatore che fa la prima mossa deve scegliere di cominciare da destra o da sinistra dopo avere verificato quale sequenza di monete in posizione dispari abbia una somma maggiore della sequenza di monete in posizione pari, a seconda che si cominci da destra o da sinistra.
Se si vuole evitare di fare queste somme (il farle permette che dopo la prima mossa seguano mosse che il primo giocatore può scegliere di fare con decisione immediata), esiste una seconda strategia che consiste nello scegliere la prima moneta a destra o sinistra verificando quale sia la differenza minore tra il valore della seconda moneta e quello della prima. Se questa differenza è uguale andrà ripetuta fra la terza moneta e la seconda. Così facendo nel gruzzolo del primo giocatore capiteranno la monete in posizione dispari in una sequenza la cui somma è maggiore di quelle in posizione pari.

Strategia puntualmente operativa, descrittiva delle operazioni da fare, ma che non dimentica di sottolineare quale sia il cuore logico che la genera, ovvero la possibilità che il primo giocatore ha sempre di poter decidere di prendere tutte le monete di posto pari o tutte quelle di posto dispari.  Chi non manca mai di mandare soluzioni è Alberto R., che rende più evidente il punto:

Se le 2N monete sono tante, di svariati valori e disposte in successione casuale, è molto probabile che la somma delle N monete in posizione dispari (la prima, la terza, la quinta…) sia diversa dalla somma delle N in posizione pari (la seconda, la quarta… l’ultima).
In tal caso esiste una semplice strategia vincente per chi gioca per primo, infatti egli può prendere tutte le monete pari e lasciare all’avversario tutte le dispari o viceversa.
E’ facilissimo verificare che questa possibilità sussiste sempre.
Il gioco diventa più interessante quando la somma delle pari uguaglia la somma delle dispari. In tal caso esiste per primo giocatore una strategia non perdente (vittoria o pareggio).
S1 S2 . . . . . . . . D2 D1
Abbiamo indicato con S1 ed S2 la prima e seconda moneta a partire da sinistra e con D1 e D2 la prima e seconda a partire da destra, con riferimento alle sole monete ancora in gioco.
La strategia consiste nel rendere massima (in valore algebrico) la differenza tra ciò che prendo e ciò che lascio all’avversario: Se prendo S1 detta differenza vale S1 – max(D1,S2), se invece prendo D1 la differenza è D1 – max(S1,D2).
Ecco un esempio con sole 6 monete (o gettoni, qualora fosse difficile reperire le monete da 3, da 4 e da 6 centesimi):
1 3 6 2 2 4
La somma delle monete dispari (1+6+2) eguaglia la somma delle pari (3+2+4).
Io prendo il 4 (seguo la strategia suddetta)
Lui prende il 2 (è il meglio che può fare)
Io prendo l’1 (seguo la strategia suddetta)
Lui prende il 3 (è il meglio che può fare)
Io prendo il 6
Lui prende il 2
Conclusione: vinco 11 a 7
Infine, come esempio di ovvio pareggio, possiamo citare il caso di disposizione simmetrica rispetto al centro della fila (5 2 1 4 4 1 2 5).
Cosa succede se le monete sono 2N+1 ?
In tal caso chi muove per primo fa una presa in più, ma, inaspettatamente, questo non lo favorisce, anzi, probabilmente perderà. Questa gara, infatti, si svolge in due tempi come una partita di calcio: nel primo tempo (che consiste nella sola prima presa) il primo giocatore accumula un vantaggio pari al valore della moneta che ha scelto, ma nel secondo tempo gioca una partita tipo 2N dove muove per secondo per cui è svantaggiato e lo svantaggio può superare il vantaggio iniziale, il che accade con probabilità elevata se si gioca con molte monete.
Esempio: nella partita 1 4 2 5 1 2 2 chi muove per primo, anche se gioca bene, perde 6 a 11.

Nella soluzione di Alberto è particolarmente notevole la generalizzazione del problema al caso in cui il numero delle monete iniziali sia dispari. Possiamo considerare allora chiusa la questione? Certo no, perché, come dice qualcuno nell’Amleto di Shakespeare, “ci sono più cose in cielo e in terra, Orazio, di quante possa immaginarne la tua filosofia”. Non sappiamo cosa ne possiate pensare voi, ma questo contributo di Dario, ci ha davvero aperto una nuova Weltanschauung sul problema posto:

Non so se è la risposta che volevate, dato che sono tutt’altro che un matematico ma un ex (molto ex) fisico sperimentale (giocavo con le particelle… le monete sono un po’ troppo grandi per me), comunque io prenderei una riga e una matita (no, non per una dimostrazione di geometria). Metterei la riga sulla matita, posta al centro esatto, e le monete sulla riga, in fila, ovviamente 31 da una parte rispetto alla matita e 31 sull’altra. Dato che in genere le monete più pesanti sono anche quelle di maggior valore, se la riga pende da una parte, allora probabilmente conterrà quelle più pesanti. Essendo 31, chi inizia per primo ne prenderà 16 e chi inizia per secondo 15. Non che questo garantisca alcunché (io sono sempre stato sfigato al gioco, per cui mi beccherei sicuramente solo 16 monetine di rame a destra e 15 a sinistra) ma sui grandi numeri dovrebbe darmi qualche probabilità in più…. comunque a fare il fisico non ho mai guadagnato granché, per cui…

L’approccio sperimentale alla matematica ci ha sempre davvero affascinato. Del resto, ogni soluzione porta con sé qualcosa di nuovo: guardate cosa scrive Camillo:

Questo “Una moneta a me, una moneta a te” mi lascia un po’ perplesso, la soluzione con 2 giocatori è troppo facile. Se vi fossero 3 giocatori sarebbe una cosa diversa ma con 62 monete il numero delle prese è sbilanciato. O c’è sotto qualche trucco “verbale” che non riesco ad individuare?
Comunque da quello che ho capito; il primo che prende vince, è sufficiente calcolare quale somma delle monete nelle loro posizioni pari o dispari ha il valore più alto e partire da quella. Esempio: se calcolo che la somma nelle posizioni pari è più alta di quelle nelle posizioni dispari parto a prendere dalla posizione 62 obbligando l’avversario a prenderne una in posizione dispari (61 o 1). Può anche avvenire che nel corso della partita le posizioni dispari divengano più convenienti per cui posso cambiare incrementando ulteriormente il mio gruzzoletto.
Tutto questo vale per qualunque quantità di monete purché pari se fossero dispari è il secondo giocatore che ha il vantaggio però il primo ha una presa in più che potrebbe fare la differenza.
Ah! la collezione di monete in Euro del GC è lontana dal completamento, senza le emissioni speciali e senza considerare l’indicazione dell’anno di emissione dai 17+3 stati sono stare coniate ben 252 monete diverse.

In questo caso, sono due le novità introdotte: dal punto di vista del quiz, c’è l’importante osservazione che la strategia basata sulla parità è comunque suscettibile di “miglioramenti dinamici”, nel senso che può essere ottimizzata in corsa, anche se il bilancio “statico” iniziale è di per sé già sufficiente a garantire la vittoria (o il pareggio, nel peggiore dei casi). L’altra novità è che Rudy adesso è molto triste, al pensiero di quante monete mancano ancora al completamento della sua collezione…

Basta così? Beh, basterebbe eccome, vista la lunghezza del post. Però come facciamo a non citare Pietro, che pochi giorni fa ci ha scritto dicendoci che il problema presentato era stato da lui inserito in un suo racconto (e per di più premiato)? Il racconto non è certo troppo lungo da leggere, ma non possiamo proprio metterlo qui di seguito, nel corpo di questo post. Però Pietro ci ha autorizzato a linkarlo, così potete godervelo. Eccolo qua: si intitola La Dama Inglese.

Godetevi Novembre, gente.

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Nel cervello il DNA usa un "vocabolario" anomalo

Le Scienze - Biologia - Lun, 10/31/2011 - 07:00

Nel 2009, l'alfabeto del DNA si era ampliato, grazie alla scoperta che in alcune cellule si presenta con elevata frequenza un "sesto nucleotide", la 5-idrossimetilcitosina o 5-hmC. Ora, grazie a uno studio condotto da ricercatori della Emory University School of Medicine, dell'Università di Chicago e dell'Università del Wisconsin a Madison, questo soprannome - considerato da molti alquanto enfatico, dato che al pari della metilcitosina (la "quinta base") non è altro che una modificazione della classica citosina - appare decisamente molto meno immeritato.

"I nostri dati ci ...

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Boom demografico: sette miliardi sulla Terra entro il 2011

Le Scienze - Dom, 10/30/2011 - 11:19

La popolazione globale arriverà a 7 miliardi di persone entro la fine di quest'anno: la stima è frutto di uno studio i cui risultati sono pubblicati dalla rivista Science a firma di David Bloom, professore di economia e demografia della Harvard School of Public Health, che introduce una serie di articoli dedicati al problema demografico. A impressionare è soprattutto la velocità dell'incremento demografico, tenuto conto che gli abitanti del globo erano sei miliardi solo nel 1999 e che le stime delle Nazioni Unite parlano di 10,1 miliardi di persone nel 2100. 

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Sette miliardi di esseri umani

Le Scienze - Dom, 10/30/2011 - 11:06

Si intitola People and Possibilities in a World of 7 Billion il rapporto annuale dell'UNFPA, il Fondo delle Nazioni Unite per la popolazione, diffuso in coincidenza con la data - lunedì 31 ottobre - in cui un bambino nato in qualche parte del globo farà scattare la fatidica cifra: sette miliardi di persone sul pianeta Terra. 

La data, naturalmente, è solo una stima; nessuno può stabilire con esattezza dove e quando nascerà l'essere umano numero sette miliardi, anche se tutte le probabilità puntano verso l'Asia, dove oggi vive ...

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La Lumaca Caduta Nel Pozzo: Le Soluzioni Dei Ragazzi

Matem@ticamente - Ven, 10/28/2011 - 23:00

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Un test per predire la risposta delle cellule tumorali alla chemioterapia

Le Scienze - Biologia - Ven, 10/28/2011 - 09:00

Un test che può predire l'efficacia della chemioterapia sulle cellule tumorali è stato progettato da ricercatori del Dana-Farber Cancer Institute, che ne parlano in un articolo pubblicato su Science Express. Il test è stato sviluppato sulla base di un'ipotesi che, pur non confutandola, richiede però una revisione delle teorie sui meccanismi d'azione di farmaci antitumorali e in particolare su quale sia il loro bersaglio d'elezione.

I ricercatori hanno infatti scoperto che a essere più sensibili alla chemioterapia sono le cellule tumorali che sono più vicine ...

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Seguire in diretta il ripiegamento delle proteine

Le Scienze - Biologia - Ven, 10/28/2011 - 08:43

Manipolare una singola molecola proteica, afferrarne gli estremi per estenderla e per studiarne il processo di ripiegamento: non è fantascienza ma quanto sono riusciti a fare i fisici della Technische Universitaet Muenchen (TUM), aprendo una nuova finestra sulla vita delle cellule biologiche.

Il risultato, riportato sulla rivista Science, rivela l'esistenza di una complessa rete di stati cinetici e strutturali intermedi, alcuni dei quali vengono prontamente corretti, prima di arrivare alla forma funzionale definitiva. Una migliore comprensione di questo processo è ...

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